عدد پی

نام

نمادی که ریاضیدانان برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن به کار می‌برند حرف کوچک یونانی ${\displaystyle \pi }$

تعریف

${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi =\frac{C}{d}}$

نسبت ${\displaystyle \frac{C}{d}}$

مقدار محیط دایره برابر است با طول قوسی که پیرامون دایره قرار دارد و این کمیت را می‌توان مستقل از هندسه و با استفاده از مفهوم حددر حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد. برای مثال، می‌توان طول قوس نیمهٔ بالایی دایرهٔ واحد، که معادلهٔ آن در دستگاه مختصات دکارتی برابر با x + y = ۱است، را مستقیماً به شکل انتگرال زیر انتگرال حساب کرد:

${\displaystyle \pi ={\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.}$

این تعریف ${\displaystyle \pi }$

تعریف دیگری از عدد پی:

این گونه تعاریف پی ${\displaystyle \pi }$

به همین ترتیب، , ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb{Z}\}}$

و فقط یک عدد حقیقی ${\displaystyle \pi }$

گنگ بودن و نرمال بودن

${\displaystyle \pi }$

ارقام اعشار ${\displaystyle \pi }$

تعالی

می‌توان ثابت کرد که ${\displaystyle \pi }$

از تعالی ${\displaystyle \pi }$

کسرهای مسلسل

مانند همهٔ اعداد گنگ، ثابت ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}}$

با قطع کردن این کسر مسلسل در هر مرحله، می‌توان تقریبی گویا از ${\displaystyle \pi }$

تقریب و ارقام

برخی از تقریب‌های ${\displaystyle \pi }$

• عدد صحیح: ۳
• کسرها: کسرهای تقریبی ${\displaystyle \pi }$
  (به ترتیب دقت) عبارتند از 22/7، 333/106، 355/113، 52163/16604، 103993/33102، و 245850922/78256779.
• ارقام: ۵۰ رقم اعشاری اول ${\displaystyle \pi }$
  عبارتند از ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰ (see  A000796)

ارقام در دستگاه‌های اعداد دیگر

• ۴۸ رقم اعشاری ${\displaystyle \pi }$
  در دستگاه اعداد دودویی (مبنای ۲) عبارتند از: ۱۱٫۰۰۱۰۰۱۰۰۰۰۱۱۱۱۱۱۰۱۱۰۱۰۱۰۱۰۰۰۱۰۰۰۱۰۰۰۰۱۰۱۱۰۱۰۰۰۱۱٫٫٫
• ۲۰ رقم اول اعشاری ${\displaystyle \pi }$
  در دستگاه اعداد هِگزادِسیمال (مبنای ۱۶) عبارتند از۳٫۲۴۳F۶A۸۸۸۵A۳۰۸D۳۱۳۱۹٫٫٫
• پنج رقم اول ${\displaystyle \pi }$
  در دستگاه اعداد شصت‌شصتی (مبنای ۶۰) عبارتند از ۳;۸٬۲۹٬۴۴٬۰٬۴۷

اعداد مختلط و اتحاد اویلر

هر عدد مختلط z می‌توان با استفاده از دو عدد حقیقی نمایش داد. در دستگاه مختصات قطبی، یک (شعاع یا r) برای نمایش فاصلهٔ z از مبدأ مختصاتی صفحه مختلط و عدد دیگر (زاویه یا φ) برای نمایش چرخشی در خلاف جهت عقربه‌های ساخت از خط حقیقی مثبت به شکل زیر استفاده می‌شود:

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi ),}$

که در آن i یکه موهومی‌ای است که در i = −۱ صدق می‌کند. حضور مداوم ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi ,}$

که در آن عدد e پایهٔ لگاریتم طبیعی است. این فرمول رابطه‌ای بین توان‌های موهومی e و نقاط روی محیط دایره واحد که مرکز در مبدأ مختصاتی صفحهٔ مختلط قرار دارد برقرار می‌کند. با قرار دادن φ = ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

n تا عدد مختلط z وجود دارد که در رابطهٔ z = ۱ صدق کند، و این‌ها به «ریشه واحد nم» موسومند و از طریق فرمول:

${\displaystyle e^{2\pi ik/n}(k=0,1,2,\dots ,n-1).}$

محاسبه می‌شوند.

در بابل کهن بین ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد عدد پی را به صورت ۲۵/۸ = ۳٫۱۲۵ تخمین زدند. در مصر باستان نیز بین ۱۶۰۰ تا ۱۸۵۰ سال پیش از میلاد ‎(۱۶/۹)‎ ≈ ۳٫۱۶۰۵ برآورد کردند.

عدد پی حدود چهار هزار سال پیش نیز کشف شده بود، ولی نام خاصی برای آن تعیین نشده بود و در آن زمان نمی‌دانستند که عدد پی، عددی گنگ است. یکی از نظریه‌ها راجع به مساحت دایره بوده‌است که نمایان گر آن است عدد پی را به صورت نامحسوسی کشف کرده بودند؛ این نظریهٔ پاپیروس است که می‌گفت: اگر قطر دایره ای را به نه قسمت مساوی تقسیم کنیم و یک قسمت از آن را حذف کنیم، مربعی به ضلع آن، مساحتی برابر با مساحت آن دایره دارد. با این حساب عدد پی به صورت یک عبارت گویا و به صورت اعشاری تقریباً برابر است با "۳٫۱۶" که این عدد خیلی به عدد پی نزدیک است و دقتی تا این حد در آن زمان بسیار جالب توجه است. البته این قبل از آن است که مشخص شود عدد پی گنگ است.

تقریب اعشاری عدد پی

پس از آن که مشخص شد که عدد پی، عددی گنگ است؛ اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره به وسیلهٔ یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد: ${\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\dots =\frac{\pi }{4}}$

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.

طبق محاسبهٔ کامپیوتری سری فوق، تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:

• ۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
• یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار

ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبهٔ ارقام بسیار بالا صرف نماید.

در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد e). کشف گنگ بودن عدد پی، به سال‌ها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.

در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه‌های رایانه‌ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول به صورت زیر است:

${\displaystyle \frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}}$

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.

با آن که همه ریاضیدانان می‌دانند که عدد پی گنگ است و هرگز نمی‌توان آن را به طور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی همواره برای آنها از جذابیت برخوردار بوده است. بسیاری از آنها همه عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد کردند اما هرگز نتوانستند تا پیش از ساخته شدن کامپیوتر این عدد را بیش از هزار رقم اعشار محاسبه کنند.

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیون‌ها رقم محاسبه شده‌است و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه کرد و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه کرد.

از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا روز عدد پی نام نهاده‌اند و جشن می‌گیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار می‌شود.

در قرن نهم هجری، غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضی‌دان دانشمند ایرانی، در رسالة المحیطیه که دربارهٔ دایره نوشت، عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت که تا ۱۸۰ سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.

• در سال ۱۹۹۸ فیلمی به همین نام یعنی پی ساخته شد.
• ستون های تخت جمشید بر اساس عدد پی ساخته شده
• سریالی به نام «نردبام آسمان» درباره زندگی کاشف ایرانی عدد پی

مرتبط: List of formulae involving π از آن‌جا که ${\displaystyle \pi }$

• مسئله سوزن بوفون