اتحاد اویلر

اتحاد اویلر حالت خاصی از فرمول اویلر در آنالیز مختلط است که بیان می‌دارد برای هر عدد حقیقی ${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

که در آن مقادیر توابع مثلثاتی ${\displaystyle \sin }$

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

و از آنجا که

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

و

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

نتیجه می‌شود:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

که اتحاد اویلر را نتیجه می‌دهد:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

اتحاد اویلر اغلب به عنوان نمونه‌ای از زیبایی عمیق ریاضی ذکر می‌شود. در آن سه تا از اعمال حسابی پایه دقیقاً یک بار روی می‌دهند: جمع، ضرب، و توان. این اتحاد همچنین پنج ثابت بنیادین ریاضی را به هم پیوند می‌دهد:

• عدد ۰، عنصر همانی جمع.
• عدد ۱، عنصر همانی ضرب.
• عدد π، که در هندسه فضای اقلیدسی و ریاضیات تحلیلی همه جا موجود است (π = ۳٫۱۴۱...)
• عدد e، پایه لگاریتم طبیعی، که به طور گسترده‌ای در آنالیز ریاضی خود را نشان می‌دهد (e = ۲٫۷۱۸...)
• عدد i، یکه موهومی اعداد مختلط، که میدانی از اعداد هستند که شامل ریشه همه چندجمله‌ای‌ها (آن‌هایی که ثابت نیستند) هستند، و مطالعه‌شان منجر به بینشی عمیق‌تر در حوزه‌های مختلف جبر و حسابان شد.

استاد ریاضیات دانشگاه استنفورد، کیث دولین گفته است، «مثل یک غزل شکسپیری که درست همان ماهیت واقعی عشق را مجسم می‌کند، یا نقاشی‌ای که زیبایی شکل و قالب انسان را به نمایش می‌گذارد، که بسیار بیش تر و فراتر از صرفاً منافذ پوستین است، اتحاد اویلر به عمق واقعی هستی نائل می‌شود.» و پاول ناهین، استاد بازنشسته (یا به صورت افتخاری از خدمت معاف شده) دانشگاه نیوهمپشر، که کتابی مختص فرمول اویلر و کاربردهایش در آنالیز فوریه نوشته است، اتحاد اویلر را دارای «زیبایی اعلا» توصیف می‌کند.

• فرمول دو مواور
• تابع نمایی
• ثابت گلفوند
• یادواره‌های لئونارد اویلر

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Euler's identity». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۸ ژانویه ۲۰۱۳.