حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 3 دقیقه
لینک کوتاه

تابع نمایی

دسته ای از توابع ریاضی

تابع نمایی (به انگلیسی: Exponential function) تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎ exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp(x)}

‎ یا e x {\displaystyle e^{x}}
نوشته می‌شود که e {\displaystyle e}
عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

تابع نمائی y = e x {\displaystyle y=e^{x}}

البته، این تابع را می‌توان به صورت a x {\displaystyle a^{x}}

نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

a x = ( e ln ⁡ a ) x = e x ln ⁡ a {\displaystyle \,\!\,a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}}

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ a {\displaystyle a}

می‌خوانیم که a {\displaystyle a}
عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع k a x {\displaystyle ka^{x}}

است.

عموماً متغیر x {\displaystyle x}

می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس ln ⁡ ( y ) = x {\displaystyle \ln(y)=x}
را exp ⁡ ( x ) = e x = y {\displaystyle \exp(x)=e^{x}=y}
گویند.

فهرست

  • ۱ قرینه تابع نمایی
  • ۲ ویژگی‌ها
  • ۳ کاربرد
  • ۴ کسر مسلسل تابع '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'
  • ۵ مثال
  • ۶ نگارخانه
  • ۷ جستارهای وابسته
  • ۸ منابع
  • ۹ پیوند به بیرون

قرینه تابع نمایی

تابع a − x {\displaystyle a^{-x}}

قرینه تابع a x {\displaystyle a^{x}}
می‌باشد.

y = a − x = ( 1 a ) x {\displaystyle y=a^{-x}=({\frac {1}{a}})^{x}}

نکته: این دو تابع نسبت به محور yها قرینه یکدیگر هستند.

تابع − a x {\displaystyle -a^{x}}

قرینه تابع a x {\displaystyle a^{x}}
می‌باشد.

نکته: این دو تابع نسبت به محور Xها قرینه یکدیگر هستند.

ویژگی‌ها

  • تابع نمایی معکوسِ تابع لگاریتم طبیعی (Y=ln(x است.
  • دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
  • برد آن تمام اعداد مثبت است.
  • مشتق آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و تابعی پیوسته و صعودی از x است.

نمودار تابع نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:

  • وقتی a کوچک‌تر از یک است، با افزایشِ x مقدار y کاهش می‌یابد.
  • وقتی a بزرگتر از یک است، با افزایشِ x مقدار y افزایش می‌یابد.

کاربرد

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست شناسی کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

کسر مسلسل تابع e x {\displaystyle e^{x}}

برای تابع e x {\displaystyle e^{x}}

می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

e x = 1 + x 1 − x x + 2 − 2 x x + 3 − 3 x x + 4 − ⋱ {\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}

مثال

یک هنرمند درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوب شاخه مانند ساخته است. به این‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی شاخه‌هایِ دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به صورت زیر است:

توان ۲ (^) تعداد شاخه‌ها سطح
۲^۰۱اصلی
۲^۱1(2)=۲اول
۲^۲2(2)=۴دوم
۲^۳2(2)(2)=۸سوم
۲^۴2(2)(2)(2)=۱۶چهارم
۲^۵2(2)(2)(2)(2)=۳۲پنجم
۲^۶2(2)(2)(2)(2)(2)=۶۴ششم
۲^۷2(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۱۲۸هفتم
۲^۸2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۲۵۶هشتم

رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با:

۲ به توان ۸ =۲۵۶

نگارخانه

جستارهای وابسته

  • رشد نمایی

منابع

  1. ↑ «تابعِ نمایی» [ریاضی] هم‌ارزِ «exponential function»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ تابعِ نمایی)

    پیوند به بیرون

    • مثال‌های عملی از تابع نمایی
    آخرین نظرات
    • تابعی
    • علوم
    کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.