اتحاد و تجزیه

• ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱
• تجزیۀ عبارات گویا که خود در ب. م. م‌گیری و ک. م. م‌گیری کاربرد دارد.
• تجزیۀ عبارات گویا که برای حل معادلات درجۀ دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
• به‌دست آوردن جواب معادلات درجهٔ دو

اتحادها بسیار زیاد هستند، اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند از این قرارند:

بسط دوجمله‌ای

مربع دو جمله‌ای (اتحاد اول و اتحاد دوم)

مربع مجموع دو جمله‌ای

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}$

مربع تفاضل دو جمله‌ای

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!}$

مکعب دو جمله ای

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!}$

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}$

اتّحاد مربع سه جمله‌ای

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\,\!}$

نکته: اتحاد مربع سه جمله‌ای برخلاف اتحادهای مربع دو جمله‌ای و مکعب دو جمله‌ای، برای تفریق کاربرد ندارد .

اتّحاد مزدوج:

${\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\,\!}$

کاربرد اتحاد مزدوج در تجزیه عبارت های جبری:

اتّحاد مزدوج برای تجزیه کردن عبارت های جبری که به‌صورت دو جمله ی مربع کامل هستند،استفاده می شود.

نکته ۱:اتّحاد مزدوج برای تجزیه عبارت های جبری که به‌صورت مجموع دو جمله ی مربع کامل هستند،کاربرد ندارد.

نکته ۲:اتّحاد مزدوج برای تجزیه عبارت های جبری که ۳ جمله دارند،استفاده نمی شود.

اتحاد جمله مشترک

${\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,\!}$

${\displaystyle (x+a)(x-b)=x^{2}+(a-b)x-ab\,\!}$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (اتحاد چاق و لاغر یا فیل و فنجان)

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),\,\!}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!}$

اتحاد اویلر

${\displaystyle (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}$

اتحاد لاگرانژ

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax-by)^{2}+(ay+bx)^{2}\,\!}$

بسط چندجمله‌ای نیوتن

${\displaystyle (a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}b^{0}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b^{1}+\dots +{\binom {n}{n}}a^{0}b^{n}}$