ثابت اویلر–ماسکرونی

دودویی	۰٫۱۰۰۱۰۰۱۱۱۱۰۰۰۱۰۰۰۱۱۰۰۱۱۱۱۱۱۰۰۰۱۱۰۱۱۱۱۱۰۱…
اعشاری	۰٫۵۷۷۲۱۵۶۶۴۹۰۱۵۳۲۸۶۰۶۰۶۵۱۲۰۹۰۰۸۲۴۰۲۴۳۱۰۴۲۱…
بر مبنای شانزده	۰٫۹۳C۴۶۷E۳۷DB۰C۷A۴D۱BE۳F۸۱۰۱۵۲CB۵۶A۱CECC۳A…
کسر مسلسل	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...]; ; ; ; (هنوز مشخص نیست که این کسر مسلسل متناهی یا نامتناهی دوره ای یا نامتناهی غیر دوره ای است.; کسر مسلسل به روش علامتگذاری خطی نشان داده شده‌است); ; ; ; منبع: (Sloane)

ثابت اویلر-ماسکرونی (با نام ثابت اویلر نیز شناخته می‌شود) یک ثابت ریاضی است که در آنالیز و نظریه اعداد بررسی می‌شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی گامای کوچک( $γ$ ) نشان داده می‌شود.

مساحت ناحیهٔ آبی رنگ به ثابت اولر-ماسکرونی همگرا است.

این ثابت به صورت حد تفاضل بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی تعریف می‌شود:

{\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx.\end{aligned}}

در اینجا، $\lfloor x\rfloor$

تابع جزء صحیح را نشان می‌دهد.

مقدار عددی ثابت اویلر-ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:

۰٫۵۷۷۲۱۵۶۶۴۹۰۱۵۳۲۸۶۰۶۰۶۵۱۲۰۹۰۰۸۲۴۰۲۴۳۱۰۴۲۱۵۹۳۳۵۹۳۹۹۲… (دنباله A001620 در OEIS)

تاریخچه

لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان De Progressionibus harmonicis observationes (نمایهٔ Eneström 43) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت $C$ و $O$ برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان ایتالیایی، لورنزو ماسکرونی از نمادهای $A$ و $a$ برای آن استفاده کرد. علامت $γ$ در هیچ‌یک از نوشته‌های اویلر و ماسکرونی دیده نمی‌شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با تابع گاما انتخاب شده باشد (Lagarias 2013). مثلاً، ریاضیدان آلمانی کارل آنتون برسشنایدر از علامت $γ$ در سال ۱۸۳۵ استفاده کرد(Bretschneider 1837) و آگوستوس دمورگان از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده‌است. (De Morgan & 1836–1842)

ویژگی‌ها

تابه حال جبری یا متعالی بودن عدد $γ$ مشخص نشده‌است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن $γ$ نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل کسر مسلسل، نشان داد که اگر $γ$ گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10 باشد.

ارتباط با تابع گاما

$γ$ به تابع دایگاما $Ψ$ ، و مشتق تابع گاما $Γ$ مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:

-\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).

که این برابر با حد زیر است:

{\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}

نتایج حدی بیشتر (Krämer 2005):

{\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}

حد مربوط به تابع بتا است (که بر حسب توابع گاما بیان شده‌است)

{\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}

کسر مسلسل

بسط کسر مسلسل $γ$ به شکل روبه رو است [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, …] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] OEIS: A002852، که الگوی آشکاری ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده‌اند، و تعدادشان بی‌نهایت است اگر و تنها اگر $γ$ گنگ باشد.

abm(x) = γ - x

منابع

↑ Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). "Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers". Algorithmic Number Theory. Lecture Notes in Computer Science (به انگلیسی). Springer Berlin Heidelberg. 1423: 338–350. doi:10.1007/bfb0054873. ISBN 978-3-540-69113-6.

Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). Journal of Computational and Applied Mathematics. 121 (1–2): 11. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8. Archived from the original (PDF) on 25 September 2006. Retrieved 6 September 2020. $γ$ به عنوان مبالغی از توابع zeta ریمان استخراج می‌کند.
Gerst, I. (1969). "Some series for Euler's constant". Amer. Math. Monthly. 76 (3): 237–275. doi:10.2307/2316370. JSTOR 2316370.
Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. 1: 25–30. JFM 03.0130.01.
Gourdon, Xavier; Seba, P. (2002). "Collection of formulas for Euler's constant, $γ$ ".
Gourdon , Xavier و Sebah , P. (2004) " ثابت اولر: $γ$ " .
Karatsuba, E. A. (1991). "Fast evaluation of transcendental functions". Probl. Inf. Transm. 27: 339–360.
Karatsuba, E.A. (2000). "On the computation of the Euler constant $γ$ ". Journal of Numerical Algorithms. 24 (1–2): 83–97. doi:10.1023/A:1019137125281.
Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 1 (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 1 (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 1 (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.
Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 42: 5.
Mascheroni, Lorenzo (1790), Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur, Galeati, Ticini
Lehmer, D. H. (1975). "Euler constants for arithmetical progressions" (PDF). Acta Arith. 27: 125–142. doi:10.4064/aa-27-1-125-142.
Vacca, G. (1926). "Nuova serie per la costante di Eulero, $C$ = 0,577...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche". Matematiche e Naturali. 6 (3): 19–20.

پیوند به بیرون

"Euler constant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Euler–Mascheroni constant". MathWorld.
Jonathan Sondow. بایگانی‌شده در ۱۰ دسامبر ۲۰۰۷ توسط Wayback Machine
Fast Algorithms and the FEE Method, E.A. Karatsuba (2005)
Further formulae which make use of the constant: Gourdon and Sebah (2004).

[:0-1] Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). "Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers". Algorithmic Number Theory. Lecture Notes in Computer Science (به انگلیسی). Springer Berlin Heidelberg. 1423: 338–350. doi:10.1007/bfb0054873. ISBN 978-3-540-69113-6.