حد دنباله

حد در بی‌نهایت

به حد یک دنباله در بی‌نهایت «حد دنباله» می‌گویند.

در نمایش مختصاتی، بازهٔ دوبعدی افقی حول مقدار ${\displaystyle y=A}$

به بیان دقیق‌تر، برای دنبالهٔ ${\displaystyle \{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}}$

که ${\displaystyle \epsilon }$

در این صورت می‌نویسیم: ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A}$

حدِ بی‌نهایت

برای بعضی دنباله‌های واگرا نیز عبارتی همچون ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }⟸\mathrm{\forall }B\in \mathbb{N}:\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:b_n>B,\mathrm{\forall }n\ge N}$

دنبالهٔ واگرای ${\displaystyle a_n=(-1{)}^n}$

ویژگی‌های حد دنباله مثل ویژگی‌های حد تابع هستند.

حد دنباله در صورت وجود، یکتاست. یعنی اگر ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A_1}$

اگر برای دنبالهٔ ${\displaystyle \{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\pm \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c{a}_n)=c\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n{b}_n)=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n)(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n)}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n^p)=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{)}^p}$

${\displaystyle a_n\le b_n⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}$

توجّه کنید که در بسیاری از موارد

قضیهٔ تابع

اگر ${\displaystyle f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}}$

قضیه‌ٔ فشردگی (ساندویچ)

اگر از یک اندیس به بعد ${\displaystyle b_n\le a_n\le c_n}$

قضیهٔ دنبالهٔ یکنوا

اگر ${\displaystyle \{a_n\}}$

${\displaystyle \alpha >0⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{\alpha }}=0}$

${\displaystyle c>0⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}^{\frac{1}{n}}=1}$

${\displaystyle a>0,b>0⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\log n{)}^a}{n^b}=0}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1}$

${\displaystyle a\in \mathbb{R}⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{a}{n}{)}^n=e^a}$

${\displaystyle c\in \mathbb{R}⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{c^n}{n!}=0}$

• حد
• دنباله

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Limit of a sequence». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.