تابع بتا

تابع بتا یا انتگرال نوع اول اویلر به شکل زیر تعریف می‌شود:

\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!

برای ${\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,$

.

خواص تابع بتا

تابع بتا یک تابع متقارن است به این معنی که:

$B(p,q)=B(q,p)$

این تابع از طریق زیر با تابع گاما مرتبط است:

$B(x,y)=\Gamma (x)\Gamma (y)/\Gamma (x+y)$

وقتی $x$

و

y

هر دو صحیح و مثبت باشند، طبق تعریف تابع گاما معادله پایین برقرار خواهد بود:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0,\ n>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}},\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\end{aligned}}$

از دیگر خواص تابع بتا معادله پایین است:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\\[6pt]\mathrm {B} (x+1,y)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y+1)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\to t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\to t_{+}^{y-1}{\Big )}&&x\geq 1,y\geq 1,\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,1-x)&={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}}\\[6pt]\mathrm {B} (1,x)&={\dfrac {1}{x}}\end{aligned}}$

تابع بتا را می توان با تقریب استرلینگ برای $x$

و

y

های بزرگ به شکل پایین نمایش داد:

$\mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}$

ولی اگر فقط $x$

بزرگ بود تقریب به شکل پایین تغییر خواهد یافت:

$\mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.$

منابع

↑ Davis (1972) 6.2.2 p.258
↑ Davis (1972) 6.2.1 p.258

Davis, Philip J. (1972), "6. Gamma function and related functions", in Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0

[Davis622-1] Davis (1972) 6.2.2 p.258

[Davis621-2] Davis (1972) 6.2.1 p.258