حساب کاربری
​
تغیر مسیر یافته از - کسر مسلسل عام
زمان تقریبی مطالعه: 1 دقیقه
لینک کوتاه

کسر مسلسل تعمیم یافته

در آنالیز مختلط، کسر مسلسل تعمیم یافته (انگلیسی: Generalized continued fraction) تعمیم حالت متعارف کسر مسلسل معمولی است که در آن پاره‌های صورت و مخرج را می‌توان ارزش‌های مختلط دلبخواهی گرفت.

کسر مسلسل تعمیم یافته عبارتی به صورت:

x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱ {\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}

است که در آن an (n > 0) پاره‌ای از صورت و bn پاره‌ای از از مخرج است و عبارت bn بخش صحیح آغازین کسر مسلسل است.

همگرایی‌های متوالی کسر مسلسل را می‌توان با استفاده از «فرمول بازگشتی بنیادی» شکل داد:

x 0 = A 0 B 0 = b 0 , x 1 = A 1 B 1 = b 1 b 0 + a 1 b 1 , x 2 = A 2 B 2 = b 2 ( b 1 b 0 + a 1 ) + a 2 b 0 b 2 b 1 + a 2 , ⋯ {\displaystyle x_{0}={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\qquad x_{1}={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\qquad x_{2}={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\qquad \cdots \,}

که در آن An صورت و Bn مخرج nمین همگرایی نام داردو برابر اند با

A n = b n A n − 1 + a n A n − 2 , B n = b n B n − 1 + a n B n − 2 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle A_{n}=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\qquad B_{n}=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad (n\geq 1)\,}

که در آن‌ها مقادیر اولیه عبارت است از:

A − 1 = 1 , A 0 = b 0 , B − 1 = 0 , B 0 = 1. {\displaystyle A_{-1}=1,\quad A_{0}=b_{0},\quad B_{-1}=0,\quad B_{0}=1.}

منابع

  1. ↑ Thomas W. Cusick; Mary E. Flahive (1989). The Markoff and Lagrange Spectra. American Mathematical Society. pp. 89. ISBN 0-8218-1531-8.
  2. ↑ George Chrystal (1999). Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1. American Mathematical Society. p. 500. ISBN 0-8218-1649-7.
  3. ↑ Jones & Thron (1980) p.20
    آخرین نظرات
    کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.