کسر

نمایش کسر به صورت یک خط افقی و یک عدد در بالا و یک عدد در پایین می‌باشد. عدد بالایی صورت کسر و عدد پایینی مخرج کسر نامیده می‌شود.

در اینجا ۲ صورت کسر و ۴ مخرج کسر می‌باشد.

کسر متعارفی

کسر متعارفی نوعی خاصی از کسر است که بنا بر تعریف، هم صورت و هم مخرج آن اعداد صحیح هستند (مخرج باید مخالف صفر باشد). به عنوان مثال، اعداد ${\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{3}}}$

انواع کسر متعارفی

کسر بزرگتر از واحد و کوچکتر از واحد

کسر متعارفی ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}}$

برعکس، اگر در کسر ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}}$

کسر اعشاری و درصدی

کسر اعشاری، یک کسر متعارفی است که مخرج آن ۱۰ یا توانی از ۱۰ است. اغلب برای نمایش کسرهای اعشاری از علامت ممیز (/) استفاده می‌شود. برای مثال کسر متعارفی ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{10}}}$

برای نمایش اعداد اعشاری که دارای بی‌نهایت رقم تکرار شونده اعشار هستند، از کسر متعارفی استفاده می‌شود. برای مثال کسر متعارفی ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}$

اگر مخرج کسر قابل تبدیل به ۱۰۰ باشد می‌توان اعداد را به صورت درصدی (Percentage) یا به صورت نماد ٪ نیز نشان داد. برای مثال کسر متعارفی ${\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{100}}}$

کسر مولد اعشار مختوم

اگر با تقسیم صورت بر مخرج، به باقی‌مانده صفر برسیم، کسر را مولد اعشار مختوم می‌نامند. این حالت در زمانی رخ می‌دهد که مخرج کسر فقط شامل عامل‌های ۲ یا ۵ یا هر دو باشد.

کسر مولد اعشاری متناوب

کسرهای وجود دارند که در آن‌ها حاصل تقسیم صورت بر مخرج، باقی‌مانده صفر نخواهند داشت. به این ترتیب عدد اعشاری حاصل، مختوم نخواهد بود. برای مثال کسرهایی نظیر ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0.666...}}$

کسر مولد اعشاری متناوب مرکب

در این گونه کسرها، با تجزیه مخرج به عوامل اول به ارقام ۲ یا ۵ و یک یا چند عدد اول دیگر می‌رسیم. در این صورت عدد اعشاری شامل دو قسمت تکراری با گردش و بدون گردش خواهد بود. برای مثال کسر ${\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{15}}}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{15}}=\mathrm{0.5333...}}$

کسرهای مخلوط و متعارف

معمولاً کسرهای متعارفی بزرگتر از ۱ را به صورت اعداد مخلوط نشان می‌دهند. در این حالت عدد مخلوط شامل یک قسمت عدد صحیح و یک کسر متعارفی کوچکتر از واحد است. قسمت عدد صحیح همان خارج قسمت تقسیم و صورت کسر، باقی‌مانده تقسیم و مخرج کسر متعارفی نیز مقسومٌ علیه خواهد بود.

${\displaystyle {\displaystyle \frac{36}{5}}=7{\displaystyle \frac{1}{5}}}$

کسر نامتعارف

اگر مخرج کسری صفر باشد، مانند ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{0}}}$

کسر متعارفی در جریان اندازه‌گیری و زمانی پدید آمد که ناچار شدند واحد اندازه‌گیری را بشکنند؛ چرا که برای ادامه اندازه‌گیری، نتوانستند از واحد استفاده کنند. این موضوع، به ویژه از پیدایش کسرهای مشخص، پیش از پیدایش مفهوم کلی کسر، روشن می‌شود.

زمان زیادی لازم بود تا «نیم» و «یک چهارم» به صورت ۱/۲ و ۱/۴ برای هر نوع واحدی (طول، حجم، وزن، زمان) به کار رود.

در هزاره دوم پیش از میلاد بود که بشر توانست از کسر، همچون بخشی از واحد، استفاده کند. در بابل کهن، حتی نمادهای خاصی برای برخی کسرهای متعارفی وجود داشت.

گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می‌باشد و در ریاضی هر شمار کسری مانند و یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت را یک عدد گویا می‌نامیم. مانند ۲-، ۰، ۳+ ،۲/۳ -، ۲۵/- که به ترتیب به شکل کسرهای می‌توان نوشت. به‌طور کلی هر عددی که بتوان آن را به صورت کسر نوشت، به‌طوری‌که صورت و مخرج آن متعلق به اعداد صحیح باشند و مخرج آن مخالف صفر باشد یک عدد گویا می‌گویند. مجموعه اعداد گویا را با حرف Q حرف اول کلمهٔ Quotient به معنی «خارج قسمت» نمایش می‌دهند.

ضرب کسر دارای انواع مختلفی است از جمله: ضرب عدد در کسر ( ضرب کسر در عدد) و ضرب کسر در کسر

ضرب عدد در کسر

ابتدا به عدد مخرج یک می دهیم و سپس صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می شود. ${\displaystyle 2\times {\displaystyle \frac{9}{6}}={\displaystyle \frac{2}{1}}\times {\displaystyle \frac{9}{6}}={\displaystyle \frac{18}{6}}}$

ضرب کسر در عدد

این مورد دقیقاً شبیه ضرب عدد در کسر می باشد و ابتدا باید به عدد مخرج یک بدهیم و سپس در هم ضرب کنیم. ${\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{5}}\times 2={\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{8}{5}}}$

ضرب کسر در کسر

در این نوع ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می شوند. ${\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{7}}\times {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\times {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{45}{35}}}$

دقت کنید در کسر های که به صورت عدد مخلوط هستند، ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنید و سپس ضرب را انجام دهید. ${\displaystyle 4{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 1{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{14}{3}}\times {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{126}{15}}}$

برای تقسیم دو کسر متعارفی می‌توان آن را به صورت حاصل‌ضرب نوشت و عملیات را مطابق با عملیات ضرب انجام داد. برای این کار کافی است که کسر مقسوم علیه را به صورت معکوس در آورده و در مقسوم ضرب کنیم.

${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}}÷{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\times {\displaystyle \frac{d}{c}}}$

جمع و تفریق دو کسر متعارفی با مخرج یکسان

اگر مخرج همه کسرها با هم مشابه است، صورت تمام کسرها را با هم جمع می شوند. مخرج نیز همان مخرج یکسان کسرها میباشد.

${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}}$

جمع و تفریق دو کسر متعارفی با مخرج متفاوت

دو مخرج (یا هر چند تا که هست) را در هم ضرب کرده تا مخرج مشترک به دست بیاید. اگر یکی از مخرج ها به بقیه مخرج ها بخش پذیر بود، کافی است آن مخرج به عنوان مخرج مشترک انتخاب شود. صورت ها متناسب با مخرج مشترک، بزرگ می شوند. در این حالت صورت کسرها با هم جمع می شوند.

${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{5}{15}}+{\displaystyle \frac{9}{15}}={\displaystyle \frac{14}{15}}}$

• کسر مسلسل
• کسر تحویل‌ناپذیر
• کسر حجمی - برای بیان غلظت یک ماده

تاریخ ریاضیات (تألیف: فرهان سمیعی)