گروه لی

براساس موثق‌ترین منبع از تاریخچه ابتدایی گروه‌های لی (هاوکینز، صفحه ۱)، سوفوس لی زمستان ۱۸۷۳–۱۸۷۴ را به عنوان تاریخ تولد گروه‌های پیوسته در نظر گرفت. با این حال، هاوکینز پیش نهاد می‌دهد که «فعالیت تحقیقاتی شگرف لی طی دوره چهارساله از پاییز ۱۸۶۹ تا پاییز ۱۸۷۳» بود که منجر به خلق این نظریه شد (همان مرجع). برخی از ایده‌های اولیه لی در همکاری نزدیک با فلیکس کلاین شکل گرفتند. لی هر روز از اکتبر ۱۸۶۹ تا ۱۸۷۲ با کلاین ملاقات می‌کرد: در برلین از انتهای اکتبر ۱۸۶۹ تا پایان فوریه ۱۸۷۰، و طی دو سال بعدی در پاریس، گوتینگن و ارلانگن (همان مرجع، صفحه ۲). لی بیان نمود که تمام نتایج اصلی تا ۱۸۸۴ بدست آمده بودند. اما طی دهه ۱۸۷۰ میلادی، تمام مقالات او (به جز اولین یادداشت) در ژورنال‌های نروژی منتشر شده بودند، که مانع از شناخته شدن اثر او در بقیه اروپا شد (همان، صفحه ۷۶). در ۱۸۸۴ میلادی، یک ریاضیدان آلمانی به نام فریدریش انگل، برای کار سازمان یافته جهت ارائه نظریه اش در مورد گروه‌های پیوسته، نزد لی آمد. از تلاش‌های او، اثر سه جلدی Theorie der Transformationsgruppen حاصل شد که در سال‌های ۱۸۸۸ و ۱۸۹۰ و ۱۸۹۳ میلادی منتشر شدند. اصطلاح groupes de Lie اولین بار در ۱۸۹۳ میلادی در رساله شاگرد لی به نام آرتور ترسه (Arthur Tresse) در فرانسه ظاهر شد.

ایده‌های لی از بقیه ریاضیات منزوی باقی نماند. در حقیقت علاقه او به هندسه معادلات دیفرانسیل برای اولین بار از کارهای کارل گوستاو یاکوبی، در مورد نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول و معادلات مکانیک کلاسیک سرچشمه گرفت. بیشتر کارهای یاکوبی بعد از مرگش در دهه ۱۸۶۰ میلادی منتشر شد، که علاقه‌مندی‌های زیادی را در فرانسه و آلمان برانگیخت (هاوکینز، صفحه ۴۳). اثر لی با عنوان idée fixe، نظریه ای از تقارن‌های معادلات دیفرانسیلی را توسعه می‌داد که همان نقش اواریست گالوا برای معادلات جبری را در آنجا ایفا می‌نمود: یعنی، آن‌ها را براساس نظریه گروه‌ها رده‌بندی می‌کرد. لی و سایر ریاضی‌دانان نشان دادند که بیشتر معادلات مهم برای توابع خاص و همچنین چندجمله‌ای‌های متعامد، اغلب از تقارن‌های نظریه گروهی ظهور می‌کنند. در اثر اولیه لی، ایده ای مبنی بر ساخت نظریه ای از گروه‌های پیوسته وجود داشت، تا بدین طریق نظریه گروه‌های گسسته که در نظریه فرم‌های ماژولار (پیمانه‌ای) به دست فلیکس کلاین و آنری پوانکاره توسعه یافته بود را تکمیل کند. کاربرد اولیه‌ای که لی در ذهن داشت، مربوط به نظریه معادلات دیفرانسیل بود. براساس مدل نظریه گالوا و معادلات چندجمله‌ای، انگیزه اصلی این بود که با مطالعه تقارن‌ها نظریه ای شکل دهند که کل حوزه مربوط به معادلا دیفرانسیل معمولی را به وسیله آن متحد سازند. با این حال، آرزوی این که نظریه لی تمام معادلات دیفرانسیل معمولی را متحد کند، تحقق نیافت. البته روش‌های تقارنی برای ODEها هنوز هم مورد مطالعه اند، اما در این شاخه نقش غالب را ندارند. نظریه ای به نام نظریه گالوای دیفرانسیلی موجود است، ولی این نظریه توسط دیگرانی چون پیکارد (Picard) و وسیوت (Vessiot) توسعه داده شده و نظریه تربیعات (quadratures)، که انتگرال‌های نامعینی جهت بیان جواب‌ها لازم اند را ارائه می‌کند.

نیروی محرکه دیگری جهت بررسی گروه‌های پیوسته، از سوی ایده‌های برنهارت ریمان تأمین شد. این ایده‌ها مربوط به بنیادهای هندسه بودند که کلاین پیشرفت‌های بیشتری در آن‌ها ایجاد نمود. ازین رو، سه سبک اصلی ریاضیات قرن نوزدهم توسط لی ترکیب شدند تا بدین طریق نظریه جدیدش را پایه‌گذاری کند: ایده تقارن، که توسط گالوا و از طریق مفهوم جبری گروه بیان شد؛ نظریه هندسی و جواب‌های صریح در قالب معادلات دیفرانسیل از مکانیک، که توسط پواسون و یاکوبی ارائه شد؛ و فهم جدیدی از هندسه که در کارهای پلوک، موبیوس، گراسمان و سایرین ظهور یافت و همچنین در بینش انقلابی ریمان در ارتباط با این موضوع به حد اعلای خود رسید.

گرچه که امروزه، سوفوس لی را به درستی به عنوان خالق نظریه گروه‌های پیوسته می‌شناسند، قدم بلندی در پیشرفته نظریه ساختاری آن، توسط ویلهلم کیلینگ شکل گرفت که اثرات عمیقی در پیشرفت‌های بعدی ریاضیات داشت. ویلهلم کیلینگ در ۱۸۸۸ میلادی اولین مقاله از سری مقالات خود را با عنوان Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (به معنی: ترکیب گروه‌های تبدیلی متناهی پیوسته) منتشر ساخت (هاوکینز، صفحه ۱۰۰). اثر کیلینگ که بعد توسط الی کارتان تعمیم یافته و اصلاح شد، منجر به کشف و توسعه این موارد شد: رده‌بندی جبرهای لی نیم-ساده، نظریه فضاهای تقارنی، توصیف هرمان ویل در مورد نمایش‌های گروه‌های لی نیم-ساده و فشرده با استفاده از بالاترین وزن‌ها.

در ۱۹۰۰ میلادی، دیوید هیلبرت، متخصصان نظریه لی را با مسئله پنجمش به چالش کشید. او این مسئله را در کنگره جهانی ریاضی‌دانان در پاریس ارائه نمود.

ویل، موجب بارورسازی اولین دوره از توسعه و پیشرفت نظریه گروه‌های لی شد، چرا که نه تنها نمایش‌های تحویل‌ناپذیر گروه‌های لی نیم-ساده را رده‌بندی کرده و نظریه گروه‌ها را با مکانیک کوانتومی مرتبط نمود، بلکه با شفاف سازی تمایز بین گروه‌های بی‌نهایت‌کوچک‌ها (که در حقیقت همان جبرهای لی هستند) و گروه‌های لی واقعی، خود نظریه لی را بر شالوده‌های مستحکمی بنا نهاد و تحقیقات حول توپولوژی گروه‌های لی را آغاز نمود. نظریه گروه‌های لی، در تک‌نگاره‌ای توسط کلاود شوالی، به صورت نظام‌مند و به زبان ریاضیاتی نوین، مورد بررسی مجدد قرار گرفت.

گروه‌های لی، منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر همواری اند و از این نظر می‌توان در مقایسه با حالت کلی تر گروه‌های توپولوژیکی، آن‌ها را با استفاده از حساب دیفرانسیل مطالعه نمود. یکی از ایده‌های اصلی نظریه گروه‌های لی، جایگزین سازی اشیاء سراسری، یعنی گروه‌ها با نسخه موضعی یا خطی‌سازی شده آن‌ها می‌باشد، که سوفوس لی آنها را «گروه بی‌نهایت کوچک‌ها» می‌نامید و اکنون به جبر لی معروف شده‌اند.

گروه‌های لی نقش بزرگی را در سطوح مختلف و متعددی از هندسه نوین ایفاء می‌کنند. فلیکس کلاین در برنامه ارلانگن اش مدعی شد که می‌توان «هندسه‌های» متنوعی را با تعیین گروه‌های تبدیلی مناسب که خواص هندسی بخصوصی را ناوردا باقی می‌گذارند، مورد بررسی قرار داد. ازین رو، هندسه اقلیدسی متناظر با انتخاب گروه ${\displaystyle E(3)}$

گروه‌های لی (و جبرهای لی متناظرشان)، نقش مهمی در فیزیک نوین بازی کرده، به طوری که گروه لی اغلب نقش تقارن یک سامانه فیزیکی را بازی می‌کند. در اینجا، نمایش‌های گروه لی (یا نمایش‌های جبر لی اش) از اهمیت ویژه ای برخوردار اند. از نظریه نمایش به‌طور گسترده در فیزیک ذرات استفاده می‌گردد. گروه‌هایی که نمایش‌هایشان از اهمیت خاصی برخوردارند شامل این موارد اند: گروه دورانی ${\displaystyle SO(3)}$

در سطح «سراسری»، هرگاه یک گروه لی روی یک شیء هندسی چون منیفلد ریمانی یا منیفلد سیمپلکتیک کنش کند، این کنش اندازه‌ای جهت سنجش میزان صلب بودن ارائه کرده و منجر به ساختار جبری غنی ای می‌گردد. حضور تقارن‌های پیوسته، از طریق یک کنش گروه لی روی یک منیفلد بیان شده و قیود قوی ای روی هندسه حاصل از آن قرار داده و آنالیز روی منیفلد را تسهیل می‌سازد. کنش‌های خطی گروه‌های لی، اهمیت ویژه‌ای داشته و در نظریه نمایش مورد مطالعه واقع شده‌اند.

در دهه‌های ۱۹۴۰ و ۱۹۵۰ میلادی، الی کولچین، آرمند بورل و کلاود شوالی متوجه شدند که بسیاری از نتایج بنیادین مربوط به گروه‌های لی را می‌توان به‌طور کاملاً جبری توسعه داد. این کار منجر به نظریه گروه‌های جبری تعریف شده بر روی میدان دلخواه می‌گردد. این بینش، با ارائه ساختار یکپارچه ای برای بسیاری از گروه‌های ساده متناهی و همچنین هندسه جبری، دریچه ای از امکانات جدید را در جبر محض باز نمود. نظریه فرم‌های اتومورفیک، که شاخه مهمی از نظریه اعداد نوین است، به‌طور گسترده با ساختارهای مشابه با گروه‌های لی روی حلقه‌های آدل سروکار دارد؛ در این حوزه، گروه‌های لی p-ادیک از طریق ارتباطاتشان با نمایش‌های گالوا در نظریه اعداد، نقش مهمی را ایفا می‌کنند.

گروه لی عبارت است از گروهی که همزمان منیفلد هموار نیز باشد، به گونه ای که عمل ضرب و وارون گروهی، نگاشت‌های همواری باشند. هموار بودن عمل گروهی:

بدان معنا است که ${\displaystyle \mu }$

نگاشت فوق، نگاشت همواری از منیفلد حاصلضربی ${\displaystyle G\times G}$

اولین مثال‌ها

• ماتریس‌های وارون پذیر ۲ × ۲ گروهی را تحت ضرب تشکیل می‌دهند که توسط ${\displaystyle {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})}$
  یا ${\displaystyle \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})}$
  نشان داده می‌شوند:

گروه فوق، یک گروه لی حقیقی چهار بعدی نافشرده، و همچنین زیر مجموعه بازی از ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{\mathbb{4}}}$

• ماتریس دورانی، زیر گروهی از${\displaystyle \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})}$
  را تشکیل می‌دهد که با ${\displaystyle \mathrm{SO}(2,\mathbb{R})}$
  نمایش داده می‌شود. این گروه به خودی خود یک گروه لی است: به‌طور خاص، یک گروه لی یک بعدی فشرده همبند است که با دایره دیفئومورف است. با استفاده از زاویه دورانی به عنوان یک پارامتر، این گروه را می‌توان به صورت زیر پارامتریزه نمود:

اضافه کردن زوایا، متناظر با ضرب عناصر ${\displaystyle \mathrm{SO}(2,\mathbb{R})}$

• گروه آفین یک بعدی، یک گروه ماتریس دوبعدی لی است که از ماتریس‌های مثلثی ۲ * ۲ حقیقی و بالا-مثلثی تشکیل شده‌است. به گونه ای که اولین درایه قطری مثبت و دومین درایه قطری برابر با ۱ است؛ بنابراین، این گروه از ماتریس‌هایی به فرم زیر تشکیل شده‌است:

نا-مثال

اکنون مثالی از یک گروه با تعداد ناشمارا عضو را ارائه می‌کنیم که تحت توپولوژی خاصی گروه لی نباشد. گروه:

که در آن ${\displaystyle a\in \mathbb{R}\setminus Q}$

با این‌حال، گروه ${\displaystyle H}$

گروه ${\displaystyle H}$

گروه‌های لی ماتریسی

فرض کنید ${\displaystyle \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$

• گروه‌های خطی خاص روی ${\displaystyle \mathbb{R}}$
  و ${\displaystyle \mathbb{C}}$
  ، یعنی به ترتیب ${\displaystyle \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})}$
  و ${\displaystyle \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})}$
  که شامل ماتریس‌های ${\displaystyle n\times n}$
  با دترمینان ۱ اند و درایه‌های آن عضو ${\displaystyle \mathbb{R}}$
  یا ${\displaystyle \mathbb{C}}$
  می‌باشند.
• گروه‌های یکانی و گروه‌های یکانی خاص که به ترتیب با نمادهای ${\displaystyle U(n)}$
  و ${\displaystyle SU(n)}$
  نشان داده شده و شامل ماتریس‌های مختلط ${\displaystyle n\times n}$
  بوده که در اتحاد ${\displaystyle U^{\ast }=U^{-1}}$
  صدق می‌کنند (همچنین در مورد ${\displaystyle SU(n)}$
  ، خاصیت ${\displaystyle det(U)=1}$
  نیز برقرار است).
• گروه‌های متعامد و گروه‌های متعامد خاص که به ترتیب با نمادهای ${\displaystyle O(n)}$
  و ${\displaystyle SO(n)}$
  نشان داده شده و شامل ماتریس‌های ${\displaystyle n\times n}$
  اند که در اتحاد ${\displaystyle R^T=R^{-1}}$
  صدق می‌کنند (همچنین در مورد ${\displaystyle SO(n)}$
  ، خاصیت ${\displaystyle \det (R)=1}$
  نیز برقرار است).

تمام مثال‌های پیشین تحت عنوان گروه‌های کلاسیک طبقه‌بندی می‌گردند.

مفاهیم مرتبط

گروه لی مختلط به طریق مشابه و با استفاده از منیفلدهای مختلط به جای منیفلدهای حقیقی تعریف می‌گردد (مثل: ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})}$

مسئله پنجم هیلبرت می‌پرسد که آیا به تعویض منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر با منیفلدهای توپولوژیکی یا تحلیلی می‌توان مثال‌های جدید ساخت یا خیر. به نظر می‌رسد که جواب به این سؤال منفی باشد: در ۱۹۵۲ میلادی، گلیسون، مونتگومری و زیپین نشان دادند که اگر G یک منیفلد توپولوژیکی با اعمال گروهی پیوسته باشد، آن‌گاه دقیقاً یک ساختار تحلیلی روی G وجود دارد که به نظر می‌رسد یک گروه لی باشد (حدس هیلبرت-اسمیت). اگر اجازه دهیم که منیفلد زیرین بی‌نهایت بعدی باشد (مثل منیفلد هیلبرت)، آنگاه به مفهوم گروه لی بی‌نهایت-بعدی می‌رسیم. امکان تعریف نسخه‌های متعددِ مشابه با گروه‌های لی بر روی میدان‌های متناهی وجود دارد که بدین ترتیب بیشترین مثال از گروه‌های ساده متناهی تشکیل می‌گردند.

با کمکم زبان نظریه رسته‌ها، تعریف دقیقی برای گروه‌های لی ایجاد می‌گردد: گروه لی، یک شیء گروهی در رسته منیفلدهای هموار است. این تعریف مهم است، چرا که امکان تعمیم مفهوم گروه‌های لی به ابرگروه‌های لی را فراهم می‌آورد.

تعریف توپولوژیکی

گروه لی را می‌توان بدون درنظر گرفتن ساختار دیفرانسیل‌پذیری روی منیفلدها، به صورت گروه توپولوژیکی هاسدورفی تعریف نمود که نزدیک عضو همانی شبیه یک گروه تبدیل است. ما در ابتدا گروه لی خطی ایمرس شده ای را به صورت زیرگروه ${\displaystyle G}$

1. همسایگی V از عنصر همانی e در ${\displaystyle G}$
   وجود دارد به طوری که توپولوژی روی V به صورت توپولوژی زیرفضایی از ${\displaystyle \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$
   بوده و V نیز در ${\displaystyle \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$
   بسته باشد.
2. مؤلفه‌های همبندی G حداکثر شمارا اند.

(به عنوان مثال، زیرگروه بسته‌ای از ${\displaystyle \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$

سپس گروه لی به صورت گروهی توپولوژیکی تعریف می‌شود که (۱) نزدیک همانی به گروه لی خطی ایمرس شده به‌طور موضعی یکریخت باشد و (۲) تعداد مؤلفه‌های همبندی آن حداکثر شمارا باشد. نشان دادن معادل بودن تعریف توپولوژیکی مذکور با تعریف رایج عملی فنی است (و خوانندگان مبتدی باید از خواندن آن صرف نظر کنند)، اما به‌طور کلی و نادقیق به صورت زیر خلاصه می‌شود:

1. برای یک گروه لی در یک منیفلد معمولی، تناظر گروه لی-جبر لی (یا نسخه‌ای از قضیه سوم لی)، موجب ساخته شدن زیرگروه لی ایمرس شده‌ای چون ${\displaystyle G^{\prime }\subset \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$
   می‌گردد چنان‌که ${\displaystyle G}$
   و ${\displaystyle G^{\prime }}$
   خواص جبر لی مشترکی دارند؛ ازین رو، این دو به‌طور موضعی یکریخت اند؛ لذا، ${\displaystyle G}$
   در تعریف توپولوژیکی فوق صدق می‌کند.
2. برعکس، فرض کنید ${\displaystyle G}$
   یک گروه توپولوژیکی باشد که براساس تعریف توپولوژیکی فوق یک گروه لی بوده و یک گروه لی خطی ایمرس شده همچون ${\displaystyle G^{\prime }}$
   که به‌طور موضعی یکریخت با ${\displaystyle G}$
   باشد را انتخاب کنید. سپس، براساس نسخه‌ای از قضیه زیرگروه بسته، ${\displaystyle G^{\prime }}$
   منیفلد حقیقی-تحلیلی بوده و سپس از طریق یکریختی موضعی، ${\displaystyle G}$
   در نزدیکی عنصر همانی، ساختار منیفلدی به خود می‌گیرد. سپس می‌توان نشان داد که به کمک سری توانی صوری، روی ${\displaystyle G}$
   قانون گروهی بدست می‌آید؛ بنابراین اعمال گروهی حقیقی-تحلیلی بوده و خود ${\displaystyle G}$
   نیز منیفلد حقیقی-تحلیلی می‌باشد.

تعریف توپولوژیکی گروه‌های لی این گزاره را ایجاب می‌کند: «اگر دو گروه به عنوان گروه‌های توپولوژیکی یکریخت باشند، به عنوان گروه‌های لی نیز یکریخت می‌باشند.» در حقیقت، این گزاره، این اصل کلی را بیان می‌دارد: «توپولوژی یک گروه لی به همراه قوانین گروهی، تا حد زیادی هندسه گروه را تعیین می‌کنند».

گروه‌های لی در ریاضیات و فیزیک به فراوانی دیده می‌شوند. گروه‌های ماتریسی یا گروه‌های جبری (به‌طور نادقیق) گروه‌های ماتریسی اند (به عنوان مثال، گروه‌های متعامد و سیمپلکتیک) و این شکل از گروه‌های لی، رایج‌ترین مثال‌ها ازین نوع گروه‌ها می‌باشند.

ابعاد ۱ و ۲

تنها گروه‌های لی همبند از بعد یک، خط حقیقی (با عمل جمع) و گروه دایره‌ای ${\displaystyle S^1}$

در دو بعد، اگر توجهمان را به گروه‌های همبند ساده معطوف کنیم، آنگاه می‌توان آن‌ها را براساس جبرهای لی‌شان رده‌بندی کرد. در حد یکریختی، تنها دو جبر لی از بعد دو موجودند. گروه‌های لی همبند ساده متناظر با ${\displaystyle \mathbb{R}}$

مثال‌های اضافه

• گروه ${\displaystyle SU(2)}$
  ، گروه ماتریس‌های یکانی ${\displaystyle 2\times 2}$
  با دترمینان ۱ است. از نظر توپولوژیکی، ${\displaystyle SU(2)}$
  3-کره ${\displaystyle S^3}$
  است؛ که به عنوان گروه می‌توان آن را با گروه یکان چهارگان‌ها یکی در نظر گرفت.
• گروه هایزنبرگ، گروه لی پوچتوان همبند از بعد ۳ است که نقش مهمی را در مکانیک کوانتومی بازی می‌کند.
• گروه لورنتزی، گروه لی ۶-بعدی از ایزومتری‌های خطی فضای مینکوفسکی است.
• گروه پوانکاره، گروه لی ۱۰-بعدی از ایزومتری‌های آفین فضای مینکوفسکی است.
• گروه‌های لی استثنایی از انواع ${\displaystyle G_2,F_4,E_6,E_7,E_8}$
  ، به ترتیب دارای ابعاد ${\displaystyle 14,52,78,133,248}$
  اند. گروه‌های استثنایی به همراه سری‌های A-B-C-D از گروه‌های لی ساده، فهرست کاملی از گروه‌های لی ساده را تشکیل می‌دهند.
• گروه سیمپلکتیک ${\displaystyle \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})}$
  ، شامل تمام ماتریس‌های ${\displaystyle 2n\times 2n}$
  اند که روی ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{2n}}$
  فرم سیمپلکتیک را حفظ می‌کنند. این گروه، گروه لی همبندی از بعد ${\displaystyle 2n^2+n}$
  است.

ساختن

چندین روش استاندارد جهت ساخت گروه‌های لی جدید از گروه‌های لی قدیمی وجود دارد:

• ضرب دو گروه لی، یک گروه لی است.
• هر زیرگروه بسته توپولوژیکی از یک گروه لی، یک گروه لی است. این خاصیت را به عنوان قضیه زیرگروه بسته یا قضیه کارتان می‌شناسند.
• خارج‌قسمت تقسیم یک گروه لی بر روی یک زیرگروه نرمال بسته، یک گروه لی است.
• پوشش جهانی یک گروه لی همبند، یک گروه لی است. به عنوان مثال، گروه ${\displaystyle \mathbb{R}}$
  ، پوشش جهانی برای گروه دایره‌ای ${\displaystyle S^1}$
  است. در حقیقت، هر پوششی برای یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر، خود یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر است، اما با تعیین پوشش جهانی، می‌توان وجود یک ساختار گروهی که سازگار با ساختارهای دیگر باشد را تضمین نمود.

مفاهیم مرتبط

مثال‌هایی از گروه‌هایی که لی نیستند (هر گروه که حداکثر تعداد شمارایی عضو داشته باشد را می‌توان به صورت گروه لی ۰-بعدی مجهز به توپولوژی گسسته دید):

• گروه‌های بی‌نهایت بعدی، همچون گروه جمعی فضای برداری حقیقی بی‌نهایت-بعدی، یا فضای توابع هموار ${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}(X,G)}$
  از یک منیفلد همچون ${\displaystyle X}$
  به یک گروه لی چون ${\displaystyle G}$
  . این گروه‌ها لی نیستند، چرا که منیفلدهای متناهی-بعدی نیستند.
• برخی از گروه‌های کلاً ناهمبند، همچون گروه گالوای توسیع نامتناهی میدان‌ها، یا گروه جمعی اعداد p-ادیک. این گروه‌ها لی نیستند، چرا ه فضاهای زیرینشان منیفلدهای حقیقی نیستند (برخی از این گروه‌ها، «گروه‌های لی p-ادیک» هستند). در کل، تنها گروه‌های توپولوژیکی می‌توانند لی باشند که برای برخی از ${\displaystyle n}$
  ها، خواص موضعی مشابه با ${\displaystyle \mathbb{R}}$
  داشته باشند (البته، این گروه‌ها باید ساختار دیفرانسیل‌پذیر نیز داشته باشند).

جبر لی متناظر با یک گروه لی

می‌توانیم برای هر گروه لی، یک جبر لی مرتبط سازیم. در زیربنای جبر لی، فضای برداری وجود دارد که فضای مماس گروه لی متناظر با آن در عنصر همانی بوده که ساختار موضعی گروه لی را به‌طور کامل دربر دارد. به زبان ساده‌تر، می‌توانیم عناصر جبر لی را به عنوان عناصر گروه لی درنظر بگیریم که «بی‌نهایت نزدیک» به عنصر همانی بوده و کروشه لی جبر لی نیز به جابه‌جاگر دوتا عنصر بی‌نهایت کوچک این چنینی مرتبط است. قبل از ارائه تعریف مجرد، چند مثال در ادامه خواهند آمد:

• جبر لی فضای برداری ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$
  ، صرفاً همان ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$
  است که کروشه لی آن به این صورت داده شده باشد:

(در کل، کروشه لی یک گروه لی همبند همیشه برابر صفر است اگر و تنها اگر گروه لی متناظر با آن آبلی باشد)

• جبر لی گروه خطی عام ${\displaystyle \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$
  از ماتریس‌های معکوس‌پذیر، فضای برداری ${\displaystyle \mathrm{M}(n,\mathbb{C})}$
  از ماتریس‌های مربعی است که کروشه آن به صورت زیر می‌باشد:

• اگر ${\displaystyle G}$
  زیرگروه بسته‌ای از ${\displaystyle \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})}$
  باشد، آنگاه جبر لی ${\displaystyle G}$
  را می‌توان به به زبان ساده به صورت ماتریس‌های m از ${\displaystyle \mathrm{M}(n,\mathbb{R})}$
  در نظر گرفت، چنان‌که ${\displaystyle 1+\epsilon m}$
  در ${\displaystyle G}$
  بوده و ${\displaystyle \epsilon }$
  عدد مثبت بی‌نهایت کوچکی با این خاصیت باشد که ${\displaystyle {\epsilon }^2}$
  (مطمئناً چنین عدد حقیقی وجود ندارد). به عنوان مثال، گروه متعامد ${\displaystyle \mathrm{O}(n,\mathbb{R})}$
  شامل ماتریس‌های ${\displaystyle A}$
  است که ${\displaystyle A{A}^T=1}$
  ، چنان‌که جبر لی آن شامل ماتریس‌های ${\displaystyle m}$
  است که در ${\displaystyle (1+\epsilon m)(1+\epsilon m{)}^T=1}$
  صدق کرده و در نتیجه در ${\displaystyle m+m^T=0}$
  صدق می‌کند، چون ${\displaystyle {\epsilon }^2=0}$
  .
• توصیف پیشین را می‌توان به این صورت مستحکم تر ساخت: جبر لی از زیرگروه بسته ${\displaystyle G}$
  از ${\displaystyle G}$
  را می‌توان به این صورت محاسبه نمود:

که در آن ${\displaystyle \exp (tX)}$

کار کردن با تعریف ملموسی که در بالا برای گروه‌های ماتریسی آمده راحت است، اما مشکلات جزئی دارد: برای این که از این تعریف استفاده شود، ابتدا باید یک گروه لی را به صورت گروهی از ماتریس‌ها نمایش داد، در حالی که این نمایش برای تمامی گروه‌های لی امکان‌پذیر نبوده و حتی مستقل بودن جبر لی از نمایشی که به کار می‌بریم هم واضح نیست. برای این که بر این مسائل فایق آییم، تعریف کلی از جبر لی یک گروه لی را ارائه می‌نماییم (در ۴ مرحله):

1. میدان‌های برداری روی هر منیفلد هموار چون ${\displaystyle M}$
   را می‌توان به صورت مشتقات ${\displaystyle X}$
   از حلقه توابع هموار روی یک منیفلد دید؛ بنابراین میدان‌های برداری تحت کروشه لی تشکیل جبر لی می‌دهند، چون کروشه لی هر دو مشتق، باز یک مشتق است.
2. اگر ${\displaystyle G}$
   گروه دلخواهی باشد که روی منیفلد ${\displaystyle M}$
   به‌طور هموار کنش می‌کند، آنگاه روی میدان‌های برداری هم کنش خواهد کرد و فضای برداری میدان‌های برداری که توسط این گروه ثابت باقی می‌مانند نیز تحت کروشه لی بسته بوده و این رو خود تشکیل یک جبر لی می‌دهند.
3. ما این روش ساختن را هنگامی که منیفلد ${\displaystyle M}$
   ، فضای زیرین یک گروه لی چون ${\displaystyle G}$
   باشد نیز به کار می‌بریم، که در آن ${\displaystyle G}$
   روی ${\displaystyle G=M}$
   ، از طریق انتقال‌های چپی چون ${\displaystyle L_g(h)=gh}$
   کنش می‌کند. این نشان می‌دهد که فضای میدان‌های برداری ناوردای چپ (میدان‌های برداری که برای هر ${\displaystyle h\in G}$
   در ${\displaystyle L_{g^{\ast }}{X}_h=X_{gh}}$
   صدق می‌کنند، که در آن ${\displaystyle L_{g^{\ast }}}$
   نشانگر دیفرانسیل ${\displaystyle L_g}$
   است) روی یک گروه لی، تحت کروشه لی از میدان‌های برداری تشکیل جبر لی می‌دهد.
4. هرکدام از بردارهای مماس در همانی یک گروه لی را می‌توان با انتقال چپ بردار مماس به سایر نقاط منیفلد، به میدان برداری ناوردای چپ توسعه داد. به‌طور خاص، توسعه ناوردای چپ از یک عنصر ${\displaystyle v}$
   فضای مماس در همانی، میدان برداری است که با ${\displaystyle v_g^{\wedge }=L_{g^{\ast }}v}$
   تعریف می‌شود. این‌ها فضای مماس ${\displaystyle T_{e}G}$
   را با کمک فضای میدان‌های برداری ناوردای چپ در عنصر همانی مشخص می‌کنند؛ لذا، فضای مماس حاصل در عنصر همانی را جبر لی گروه ${\displaystyle G}$
   نامیده و اغلب با نماد ${\displaystyle \mathfrak{g}}$
   (فراکتور جی) نمادگذاری می‌گردد. ازین رو، کروشه لی روی ${\displaystyle \mathfrak{g}}$
   را به صورت صریح با ${\displaystyle \left[v,w\right]={\left[v^{\wedge },w^{\wedge }\right]}_e}$
   نمایش می‌دهند.

جبر لی ${\displaystyle \mathfrak{g}}$

همچنین ما می‌توانیم ساختار یک جبر لی روی ${\displaystyle T_e}$

همچنین، ساختار جبر لی روی ${\displaystyle T_e}$

روی ${\displaystyle G\times G}$

هم‌ریختی‌ها و یکریختی‌ها

اگر ${\displaystyle G}$

ترکیب دو هم‌ریختی لی مجدداً یک هم‌ریختی بوده و رده تمام گروه‌های لی به همراه این ریخت‌ها، تشکیل یک رسته می‌دهند. به علاوه، هر هم‌ریختی گروه لی، یک هم‌ریختی بین جبرهای لی متناظرشان را القاء می‌کند. فرض کنید ${\displaystyle \varphi :G\to H}$

می‌توان نشان داد که ${\displaystyle {\varphi }_{\ast }}$

دو گروه لی را یکریخت نامیده اگر هم‌ریختی دو سویه‌ای بینشان وجود داشته باشد که معکوسش نیز یک هم‌ریختی گروه لی باشد. به‌طور معادل، این هم‌ریختی دیفئومورفیسمی است که هم‌ریختی گروهی نیز می‌باشد.

یک‌ریختی‌های گروه/جبر لی

گروه‌های لی یکریخت، لزوماً جبرهای لی یکریختی نیز دارند؛ سپس پرسیدن این سؤال منطقی خواهد بود که یکریختی رده‌های گروه‌های لی چگونه با یکریختی رده‌های جبرهای لی مرتبط می‌شود.

اولین نتیجه در این جهت، قضیه سوم لی است، که بیان می‌کند هر جبر لی حقیقی متناهی-بعدی، جبر لی یک گروه لی (خطی) است. یک راه جهت اثبات قضیه سوم لی، استفاده از قضیه آدو است، که می‌گوید هر جبر لی حقیقی متناهی بعدی، یکریخت با یک جبر لی ماتریسی است. ضمن این که، برای هر جبر لی ماتریسی متناهی-بعدی، یک گروه خطی (گروه لی ماتریسی) وجود دارد که آن جبر، جبرِ لی اش باشد.

از سوی دیگر، گروه‌های لی با جبرهای لی یکریخت، لزوماً یکریخت نیستند. به علاوه، این نتیجه حتی هنگامی که فرض کنیم گروه‌ها همبند هستند نیز درست باقی می‌ماند. به بیان دیگر، ساختار سرتاسری روی یک گروه لی توسط جبر لی اش تعیین نمی‌شود؛ به عنوان مثال، اگر ${\displaystyle Z}$

از سوی دیگر، اگر بر روی گروه‌های لی شرط همبند ساده بودن را قرار دهیم، آنگاه ساختار سرتاسری توسط جبرهای لی اش تعیین می‌گردد: دو گروه لی همبند ساده ای که جبرهای لی یکریخت داشته باشند، یکریخت خواهند بود (زیربخش بعدی را جهت اطلاعات بیشتر در مورد گروه‌های لی همبند ساده ببینید). لذا ممکن است با توجه به قضیه سوم لی، بتوان گفت که تناظر یک-به-یکی بین رده‌های یکریختی جبرهای لی حقیقی متناهی-بعدی و رده‌های یکریختی گروه‌های لی همبند ساده وجود دارد.

گروه‌های لی همبند ساده

گروه لی چون ${\displaystyle G}$

قضیه: فرض کنید ${\displaystyle G}$

و ${\displaystyle H}$

گروه‌های لی با جبرهای ${\displaystyle \mathfrak{g}}$

و ${\displaystyle \mathfrak{h}}$

بوده به طوری که ${\displaystyle f:\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}}$

همریختی جبر لی باشد. اگر ${\displaystyle G}$

همبند ساده باشد، همریختی گروه لی یکتایی چون ${\displaystyle \varphi :G\to H}$

وجود دارد چنان‌که ${\displaystyle {\varphi }_{\ast }=f}$

، که در آن ${\displaystyle {\varphi }_{\ast }}$

دیفرانسیل ${\displaystyle \varphi }$

در عنصر همانی است.

قضیه سوم لی می‌گوید که هر جبر لی حقیقی متناهی بعدی، جبر لی یک گروه لی است. از قضیه سوم لی و نتیجه پیشین نتیجه می‌شود که هر جبر لی حقیقی متناهی-بعدی، جبر لی یک گروه لی همبند ساده یکتا است.

مثالی از یک گروه همبند ساده، گروه یکانی خاص ${\displaystyle \mathrm{SU}(2)}$

روش‌های تعیین همبند ساده بودن یا نبودن یک گروه لی، در مقاله گروه‌های بنیادی، گروه‌های لی بحث شده است.

نگاشت نمایی

نگاشت نمایی از جبر لی ${\displaystyle M(n;\mathbb{C})}$

اگر ${\displaystyle G}$

استفاده از تعریف فوق ساده است، اما این تعریف برای گروه‌های لی که شکل ماتریسی نداشته باشند قابل استفاده نبوده و مشخص نیست که نگاشت نمایی یک گروه لی به نمایشش به عنوان یک گروه ماتریسی، وابستگی ندارد. می‌توانیم هردوی این مشکلات را با استفاده از تعریفی مجرد تر از نگاشت نمایی که برای تمام گروه‌های لی کار می‌کند، حل کنیم. این تعریف در ادامه خواهد آمد.

برای هر بردار چون ${\displaystyle X}$

عمل سمت راست رابطه بالا، ضرب گروهی در ${\displaystyle G}$

به نگاشت فوق، نگاشت نمایی گفته می‌شود. این نگاشت، جبر لی ${\displaystyle \mathfrak{g}}$

از آنجا که نگاشت نمایی روی برخی از همسایگی‌های ${\displaystyle N}$

نگاشت نمایی و جبر لی، ساختار گروه موضعی هر گروه لی همبند را تعیین می‌کنند. علت آن، فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف است: همسایگی چون ${\displaystyle U}$

به طوری که جملات حذف شده معلوم بوده و مربوط به کروشه‌های لی روی چهار عضو یا بیشتر می‌شوند. هرگاه ${\displaystyle X}$

نگاشت نمایی، هم‌ریختی‌های گروه لی را به هم مرتبط می‌سازد؛ یعنی، اگر ${\displaystyle \varphi :G\to H}$

به بیان دیگر، نمودار زیر جابجا می‌شود:

(نماد exp، تبدیل طبیعی از یک تابعگون لی به تابعگون همانی روی رسته گروه‌های لی است)

نگاشت نمایی از جبر لی به گروه لی همیشه پوشا (بِرو) نیست، حتی اگر گروه مورد نظر همبند باشد (گرچه که برای گروه‌های همبندی که فشرده یا پوچتوان باشند، پوشا است). به عنوان مثال، نگاشت نمایی ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})}$

زیرگروه لی

زیرگروه لی چون ${\displaystyle H}$

مثال‌های متعددی از زیرگروه‌های نا-بسته موجودند؛ به عنوان مثال، فرض کنید ${\displaystyle G}$

نگاشت نمایی، تناظر یک-به-یکی بین زیرگروه‌های لی همبند از یک گروه لی همبند چون ${\displaystyle G}$

یکی از جنبه‌های مهم مطالعه گروه‌های لی، نمایش‌هایشان است، یعنی روشی که (به صورت خطی) روی فضاهای برداری کنش می‌کنند. در فیزیک، گروه‌های لی اغلب اطلاعات مربوط به تقارن‌های یک سامانه فیزیکی را در خود می‌گنجانند. نظریه نمایش کمک می‌کند که از تقارن جهت تحلیل سامانه استفاده شود. به عنوان مثال، معادله وابسته-به-زمانِ شرودینگر در مکانیک کوانتومی را در نظر بگیرید: ${\displaystyle \hat{H}\psi =E\psi }$

به‌طور ویژه، حالت مربوط به گروه لی فشرده همبندی چون ${\displaystyle K}$

همچنین می‌توان نمایش‌های یکانی (در حالت کلی بی‌نهایت-بعدی) از یک گروه لی دلخواه (که لزوماً فشرده نیست) را نیز مطالعه نمود. به عنوان مثال، امکان توصیف ساده نسبی از نمایش‌های گروه ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})}$