گروه متناهی

دادن عدد صحیح n، به هیج عنوان یک موضوع روتین برای محاسبهٔ چه تعداد گروه هم‌ریخت با مرتبه n وجود دارد، نیست. از آنجایی که که قضیه لاگرانژ بر این دلالت دارد که زیرگروه مدور با هر عنصر بی هویت خودش، تمام گروه است، هر گروه با ترتیب عدد اول اول یک گروه مدور است.

اگر n مربع یک عدد اول باشد، بنابراین دقیقاً دو نوع گروه هم‌ریخت با مرتبه n وجود دارد که آبلی هستند. اگر n توان بیشتری از اول باشد، بنابراین نتایج گراهام هیگمان و کارلس سیمس، حدس مجانبی درستی از تعداد گروه‌های هم‌ریخت با مرتبه n می‌دهد، و تعداد آن خیلی سریعتر از توان افزایش می‌یابد.

یسته به فاکتورهای اول n، تعدادی محدودیت ممکن است بر ساختار گروه مرتبه ان قرار بگیرد، به‌طور مثال نتایج نظریه سیلو. مثلاً هر گروه با مرتبهٔ pq در صورتی مدور هست که q <p اول هستند و ?-pبه q بخش‌پذیر نیست.

اگر ان بی مربع (دارای هیچ فاکتور مربع کامل نباشد) باشد، هر گروه از مرتبهٔ ان قابل حل است. یک نظریهٔ ویلیام برنساید، با استفاده از کاراکترهای گروه، حالت‌هایی که هر گروه از مرتبهٔ n قابل حل است در صورتی که n به کمتر از سه عدد مجزای اول بخش‌پذیر باشد، ثابت شد. با نظریه فیت-تامسون که اثبات پیجیده و طولانی دارد، هر گروه از مرتبهٔ n اگر n فرد باشد قابل حل است.

برای هر عدد صحیح مثبت n، بیشتر گروه‌های با مرتبه n قابل حل هستند. مشاهدهٔ این موضوع برای هر مرتبهٔ خاص معمولاً کار سختی نیست (مثلاً یک گروه غیرقابل حل و ۱۲ گروه قابل حل برای مرتبهٔ ۶۰ وجود دارد)، اما برای اثبات آن با هر مرتبه‌ای از دسته‌بندی گروه‌های سادهٔ متناهی استفاده می‌شود. برای هر عدد صحیح مثبت n حداکثر دو گروه ساده از مرتبهٔ n وجود دارد، و بی‌نهایت عدد صحیح مثبت n وجود دارد که دو گروه سادهٔ غیرهم‌ریخت از مرتبهٔ n وجود دارد.

جدول گروه‌های مختلف از مرتبهٔ n

• Number of groups of order n (دنباله A000001 در OEIS)
• A classifier for groups of small order