گروه آبلی

گروه آبلی شامل مجموعه‌ای مانند A و عملگر دوتایی مانند «•» است بگونه‌ای که (A، •) دارای ویژگی‌های زیر باشد:

• بسته بودن: برای هر a و b در A، حاصل a•b در A باشد.
• شرکت پذیری: برای هر a,b،c در A داشته باشیم:.a •(b • c)=(a • b) • c
• جابجایی: برای هر a و b در A، باید a •b =b • a
• وجود عنصر همانی: یک e∈A وجود دارد بطوریکه برای هر a ∈ A، داشته باشیم a • e = e • a = a.
• وجود عنصر عکس: برای هر a∈A، یک b∈A وجود دارد که a • b = b • a = e.(e همان عنصر همانی است)

مجموعهٔ همهٔ ماتریس‌های m*n با درآیه‌های حقیقی تحت عمل جمع یک گروه آبلی است. ماتریس‌های مربعی تحت عمل ضربِ ماتریس‌ها روی R یک گروه آبلی است.

نوشتنبه این معنی که عناصر مجموعه A اعداد 1، 2، 3 و 4 هستند. برای مثال مجموعه عناصر A، زیر مجموعه های A هستند.

مجموعه ها خودشان می توانند عناصر باشند. به عنوان مثال، مجموعه را در نظر بگیرید. عناصر B 1 ، 2، 3 و 4 نیستند. بلکه فقط سه عنصر B وجود دارد ، یعنی اعداد 1 و 2 و مجموعه.

عناصر یک مجموعه می تواند هر چیزی باشد. مثلا،مجموعه ای است که عناصر آن رنگ های قرمز ، سبز و آبی است.

رابطه "یک عنصر از" است که به آن عضویت در مجموعه نیز می گویند ، با نماد "∈" نشان داده می شود. نوشتن

به این معنی است که " x یکی از عناصر A است". عبارات معادل عبارتند از: " x یکی از اعضای A است"، " x متعلق به A است "، " x در A است " و " x در A قرار دارد ". عبارات " A شامل x " و " A حاوی x " نیز به معنای عضویت در مجموعه استفاده می شود، اگرچه برخی از نویسندگان آنها را به معنای " x زیرمجموعه A است " به کار می برند .اکیداً اصرار داریم که «حاوی» فقط برای عضویت و «شامل» فقط برای رابطه زیرمجموعه استفاده شود.

برای رابطه ∈ ممکن است رابطه معکوس ∈ نوشته شود

به این معنی که " A حاوی یا شامل x است".

نفی عضویت مجموعه با نماد "∉" نشان داده می شود. نوشتن

به این معنی است که " x یکی از عناصر A نیست".

نماد ∈ اولین بار توسط جوزپه پیانو، در اثر او در سال 1889 Arithmetices principia، nova metodo exposita استفاده شد. در اینجا او در صفحه X نوشت:

Signum ∈ significat est Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

که به معنی

نماد ∈ به معنای است . بنابراین a ∈ b به عنوان a است a b خوانده می شود . …

این نماد خود یک حرف کوچک یونانی epsilon ("ϵ") است که اولین حرف کلمه ἐστί به معنای "است".

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Abelian group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۷ آوریل ۲۰۲۲.