گروه گالوا

فرض کنید ${\displaystyle \mathrm{E}}$

اگر ${\displaystyle \mathrm{E}/\mathrm{F}}$

اگر ${\displaystyle \mathrm{E}/\mathrm{F}}$

در مثال‌های پایین ${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle Gal(F/F)}$
  گروه بدیهی تک عضویست، به آن خودریختی همانی گویند.
• ${\displaystyle Gal(\mathbb{C}\mathbb{/}\mathbb{R})}$
  دو عنصر دارد، خودریختی همانی و خودریختی مزدوج مختلط.
• ${\displaystyle Aut(\mathbb{R}\mathbb{/}\mathbb{Q})}$
  بدیهیست. می توان نشان داد که هر خود ریختی از ${\displaystyle \mathbb{R}}$
  باید ترتیب اعداد حقیقی را حفظ کرده و لذا باید همانی باشد.
• ${\displaystyle Aut(\mathbb{C}\mathbb{/}\mathbb{Q})}$
  یک گروه بی نهایت عضویست.
• ${\displaystyle Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})}$
  دو عضو دارد، خودریختی همانی و خودریختی که ${\displaystyle +\sqrt{2}}$
  و ${\displaystyle -\sqrt{2}}$
  را با هم تعویض می کند.
• میدان ${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})}$
  را در نظر بگیرید. گروه ${\displaystyle Aut(K/\mathbb{Q})}$
  تنها شامل خودریختی همانیست. علتش آن است که ${\displaystyle K}$
  یک توسیع نرمال نبوده، لذا چون دو ریشه سوم مختلط 2 در توسیع وجود ندارد، ${\displaystyle K}$
  یک میدان شکافنده نخواهد بود.
• اکنون ${\displaystyle L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )}$
  را در نظر بگیرید که در آن ${\displaystyle \omega }$
  ریشه سوم واحد است. گروه ${\displaystyle Gal(L/\mathbb{Q})}$
  یک ریخت با ${\displaystyle S_3}$
  است و ${\displaystyle L}$
  در حقیقت میدان شکافنده ی ${\displaystyle x^3-2}$
  بر روی ${\displaystyle \mathbb{Q}}$
  می باشد.
• اگر ${\displaystyle q}$
  توانی از عددی اول باشد و ${\displaystyle F=\mathbf{G}\mathbf{F}(q)}$
  و ${\displaystyle E=\mathbf{G}\mathbf{F}(q^n)}$
  به ترتیب میدان‌های گالوا از مرتبه ${\displaystyle q}$
  و ${\displaystyle q^n}$
  باشند، آنگاه ${\displaystyle Gal(E/F)}$
  دوری از مرتبه ${\displaystyle n}$
  بوده و توسط هم‌ریختی فروبنیوس تولید شده است.
• اگر ${\displaystyle f}$
  یک چندجمله ای تحویل ناپذیر از درجه ${\displaystyle p}$
  با ضرایب گویا باشد و دقیقا دو ریشه غیر حقیقی داشته باشد، آنگاه گروه گالوای ${\displaystyle f}$
  به صورت گروه تقارنی کامل ${\displaystyle S_p}$
  خواهد بود.