جدول گروههای لی
این مقاله شامل جداولی از برخی گروههای لی رایج و جبرهای لی متناظرشان را ارائه می نماید.
این موارد ذکر شده اند: خواص توپولوژیکی گروه (بعد؛ همبندی؛ فشردگی؛ ماهیت گروه بنیادی؛ و این که آیا همبند ساده اند یا نه، به علاوه خواص جبریشان (آبلی؛ ساده؛ نیمساده).
گروههای لی حقیقی و جبرهایشان
شرح علائم به کار رفته برای عنوان ستونها:
- Cpt: آیا گروه G مورد نظر فشرده است یا خیر? (بله یا خیر)
- : گروه مؤلفههای G را میدهد. مرتبه بزرگی گروه مؤلفهای، تعداد مؤلفههای همبندی را ارائه میکند. گروه مورد نظر همبند است اگر و تنها اگر گروه مؤلفهها بدیهی باشد (که با 0 نشان داده شده).
- : هرگاه G همبند باشد، گروه بنیادی G را میدهد.
- UC: اگر G همبند ساده نباشد، پوشش جهانی G را میدهد.
- : بعد روی فضای برداری با اسکالرهای حقیقی.
گروه لی | توصیف | Cpt | UC | نکات | جبر لی | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
فضای اقلیدسی به همراه جمع | N | 0 | 0 | آبلی | n | |||
اعداد حقیقی ناصفر به همراه جمع | N | – | آبلی | 1 | ||||
اعداد حقیقی مثبت با ضرب | N | 0 | 0 | آبلی | 1 | |||
گروه دایرهای: اعداد مختلط با قدر مطلق 1، با ضرب؛ | Y | 0 | آبلی، یکریخت با SO(2)، Spin(2)، و | 1 | ||||
Aff(1) | تبدیلات آفین معکوسپذیر از | N | 0 | گروه حلپذیر؛ ضرب نیممستقیم از | 2 | |||
چهارگانهای ناصفر با ضرب | N | 0 | 0 | 4 | ||||
چهارگانهایی با قدر مطلق 1 با ضرب؛ از نظر توپولوژیکی یک 3-کره است. | Y | 0 | 0 | یکریخت با SU(2) و Spin(3)؛ پوشش مضاعفی از SO(3) | 3 | |||
گروه خطی عام: ماتریسهای حقیقی n×n معکوسپذیر | N | – | ||||||
ماتریسهای حقیقی n×n با دترمینان مثبت | N | 0 | M(n, | n | ||||
SL(n, | گروه خطی خاص: ماتریسهای حقیقی با دترمینان 1 | N | 0 | sl(n, | n−1 | |||
SL(2, | ایزومتریهای جهت-نگهدار نیم-صفحه پوانکاره، یکریخت با | N | 0 | پوشش جهانی اش هیچ نمایش وفادار متناهی بعدی ندارد. | sl(2, | 3 | ||
O(n) | گروه متعامد: ماتریسهای متعامد حقیقی | Y | – | گروه متقارن کره (n=3) یا ابرکره. | so(n) | n(n−1)/2 | ||
SO(n) | گروه متعامد خاص: ماتریسهای متعامد حقیقی با دترمینان 1 | Y | 0 | Spin(n) n>2 | so(n) | n(n−1)/2 | ||
Spin(n) | گروه اسپین: پوشش مضاعفی از | Y | 0 n>1 | 0 n>2 | so(n) | n(n−1)/2 | ||
گروه سیمپلکتیک: ماتریسهای سیمپلکتیک حقیقی | N | 0 | n(2n+1) | |||||
Sp(n) | گروه سیمپلکتیک فشرده: ماتریسهای یکانی چهارگانی n×n. | Y | 0 | 0 | sp(n) | n(2n+1) | ||
گروه متاپلکتیک: پوشش مضاعفی از گروه سیمپلکتیک حقیقی | Y | 0 | sp(2n, | n(2n+1) | ||||
U(n) | گروه یکانی: ماتریسهای یکانی n×n مختلط. | Y | 0 | برای n=1: یکریخت با | u(n) | |||
SU(n) | گروه یکانی خاص: ماتریسهای یکانی n×n مختلط با دترمینان 1. | Y | 0 | 0 | توجه: این گروه/جبر لی مختلط نیست. | su(n) | n−1 |
منابع
- Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (به انگلیسی). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.