فضای مماس
در ریاضیات، فضای مماس (به انگلیسی: Tangent Space) یک منیفلد، تعمیم بردارهای فضای آفین به منیفلدها را در حالت کلی تسهیل می کند، چرا که در منیفلدها نمی توان به سادگی نقاط را (همچون فضای آفین) از هم کم کرده تا بردار انتقال از یکی به دیگری بدست آید.
توصیف ساده
در هندسه دیفرانسیل، می توان به هر نقطه
به عنوان مثال، اگر 2-کره را به عنوان یک منیفلد در نظر بگیریم، آنگاه می توان فضای مماس در هر نقطه آن را به صورت صفحه ی مماس بر آن نقطه تصور کرد، به گونه ای که آن صفحه در آن نقطه عمود بر شعاع کره گذرنده از آن نقطه خواهد بود. به طور کلی تر، اگر منیفلدی را بتوان به صورت زیرمنیفلد نشانده شده در فضای اقلیدسی تصور کرد، آنگاه می توان فضای مماس در هر نقطه را همچون مثال مذکور دید. این توصیف سنتی انتقال موازی بود. بسیاری از مؤلفان در هندسه دیفرانسیل و نسبیت عام از این توصیف استفاده می کنند. به طور خاص، این توصیف، تعریفی از فضای مماس آفین است، که متمایز از فضای مماسی است که در واژگان متون نوین از آن یاد می شود.
از آن طرف، در هندسه جبری نیز تعریفی ذاتی برای فضای مماس در یک نقطه از یک واریته جبری
زمانی که فضای مماس یک منیفلد مشخص شد، می توان میدانهای برداری نیز بر رویشان تعریف کرد، که تجرید میدان سرعت ذرات محرک در آن فضا می باشد. یک میدان برداری به هر نقطه از منیفلد یک بردار از فضای مماس بر آن نقطه را به طور هموار (یعنی تغییرات بردار های نسبت داده شده به نقاط مجاور هم تغییرات شدیدی نسبت به هم ندارند) نسبت می دهد. چنین میدان برداری را می توان برای تعریف تعمیم معادلات دیفرانسیل معمولی روی یک منیفلد به کار برد: جواب چنین معادله دیفرانسیلی، یک خم دیفرانسیلپذیر روی منیفلد مورد نظر است به گونه ای که مشتق هر نقطه از آن خم برابر با بردار مماس متصل به آن نقطه از میدان برداری خواهد بود.
تمام فضاهای مماس یک منیفلد را می توان 'به هم چسباند' تا شکیل یک منیفلد دیفرانسیل پذیر جدید نمایند. بعد منیفلد جدید دو برابر منیفلد قبلی است و به آن کلاف مماس می گویند.
پانویس
منابع
- Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society.
- Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society.
- Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, W. A. Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.