منحنی

در ریاضیات، مفهوم منحنی (خم) برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره‌است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف منحنی در نظر گرفته نمی‌شود؛ ولی در مکالمهٔ ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خط‌ها نیز خم‌اند. تعداد زیاد دیگری منحنی در هندسه مطالعه می‌شوند.

عبارت منحنی (خم) همچنین در حالاتی استفاده می‌شود که آن را تقریباً هم‌معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع می‌سازد.

به‌طور کلی، خم یا منحنی بر دو گونه‌است:

• منحنی مسطح: خمی است که بر روی سطح دوبعدی (صفحه)قابل جایگیری است.
• منحنی کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد.

به‌طور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم.

منحنی ساده

یک منحنی ساده، یک منحنی مسطح است که هیچ‌یک از نقطه‌های خود را قطع نکند.

در توپولوژی، منحنی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

فرض کنیم I بازه‌ای‌ست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از ${\displaystyle \mathbb{R}}$

خم ${\displaystyle \gamma }$

در صورتی که، I بازه‌ای بسته و کراندار ${\displaystyle [a,b]}$

چنانچه، به ازاء برخی ${\displaystyle x\ne y}$

آنگاه به ${\displaystyle \gamma (x)}$

خم ${\displaystyle \gamma }$

تفاوت بین یک منحنی و تصویر آن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعت‌های متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقه‌مندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود.

نامگذاری نیز همچنین یکسان نیست. اغلت توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی می‌نامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. اصطلاح «خم» در حساب برداری و هندسه دیفرانسیل معمول است.

مقالهٔ اصلی: انحناء

انحناء منحنی‌ای مسطح

اگر X یک فضای متری با متر d باشد، آنگاه «طول» خم ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

تعریف کنیم. یک خم تصحیح پذیر یک خم با طول متناهیست. معادله پارامتری از ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \text{length}(\gamma {|}_{[t_1,t_2]})=|t_2-t_1|}$

اگر ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \text{speed}(t_0)=\underset{t\to t_0}{lim sup}\frac{d(\gamma (t),\gamma (t_0))}{|t-t_0|}}$

تعریف کرد؛ و آنگاه

${\displaystyle \text{length}(\gamma )={\int }_a^b\text{speed}(t)dt.}$

به‌طور خاص، اگر ${\displaystyle X={\mathbb{R}}^n}$

${\displaystyle \text{Length}(\gamma )={\int }_a^b\left|\frac{d\gamma }{dt}\right|dt.}$

• Curve. (2011, May 31). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 16:06, June 8, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Curve&oldid=431898353