حساب کاربری
​
تغیر مسیر یافته از - زیر مجموعه
زمان تقریبی مطالعه: 3 دقیقه
لینک کوتاه

زیرمجموعه

در ریاضیات، مجموعه ای چون A را زیرمجموعه B نامند هرگاه تمام اعضای A، اعضایی از B نیز باشند؛ در این حالت می‌گویند B ابرمجموعه A است. ممکن است هردوی A و B برابر باشند؛ در صورت نابرابریشان، گویند A زیرمجموعه محضی از B است. رابطه زیرمجموعه بودن را شمول می‌نامند. «A زیرمجموعه B» را می‌توان به صورت «B شامل A» یا «B مجموعه A را در بر می‌گیرد» یا «A مشمول در B است» نیز بیان کرد.

دیاگرام اویلر، مجموعه A را به عنوان زیرمجموعه محضی از B نشان داده ( A ⊂ B {\displaystyle A\subset B}
) و برعکس، B ابر مجموعه محضی از A است.

روابط زیرمجموعگی روی مجموعه‌ها، رابطه ترتیب جزئی را رویشان تعریف می‌کند. در حقیقت، زیرمجموعه‌های یک مجموعه دلخواه، تحت رابطه زیرمجموعگی تشکیل جبر بولی می‌دهند که در آن جوین و میت همان اشتراک و اجتماع اند و خود رابطه زیرمجموعه بودن را رابطه شمول بولی می‌نامند.

فهرست

  • ۱ تعریف
  • ۲ زیر مجموعه محض (سره)
  • ۳ تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه
  • ۴ منابع
  • ۵ کتابشناسی
  • ۶ پیوندهای بیرونی

تعریف

اگر A {\displaystyle A}

و B {\displaystyle B}
دو مجموعه باشند و تمام اعضای A {\displaystyle A}
در B {\displaystyle B}
نیز باشد، آنگاه:

  • می‌توان گفت که A {\displaystyle A}
    زیرمجموعهٔ B {\displaystyle B}
    است. و آن را به صورت A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}
    می‌توانیم بنویسیم.

همچنین از سوی دیگر می‌توان گفت:

  • B ابرمجموعهٔ A است.

به عنوان مثال، اگر داشته باشیم B = { 1 , 2 , 3 , 7 } {\displaystyle B=\{1,2,3,7\}}

آنگاه A = { 1 , 7 } {\displaystyle A=\{1,7\}}
که با حذف عضوهای ۲ و ۳ به‌دست آمده‌است را زیرمجموعهٔ B می‌گویند.

اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم‌زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه‌های A و B با یکدیگر برابرند.

زیر مجموعه محض (سره)

اگرA ⊂ {\displaystyle \subset }

B، ولی A≠ B آنگاه A زیر مجموعه محض یا سره Bنامیده می‌شود

همه زیر مجموعه‌های یک مجموعه به جز خود مجموعه را زیر مجموعه‌های محض یا سره می‌گویند.

به عنوان مثال ، A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}}

و B = { 1 , 2 , 3 , 7 } {\displaystyle B=\{1,2,3,7\}}
باشد آنگاه A زیر مجموعه محض (سره) مجموعه B می‌باشد.

توجه داشته باشید هر مجموعه ϕ {\displaystyle \phi }

(تهی) را به عنوان زیر مجموعه سره خود دارد اما خود ϕ {\displaystyle \phi }
(تهی) زیر مجموعه سره ندارد.

تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه

تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 n {\displaystyle 2^{n}}

.

تعداد زیر مجموعه‌های محض (سره) یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1}

.

منابع

    کتابشناسی

    • Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

    پیوندهای بیرونی

    • Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.
    آخرین نظرات
    کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.