نگاشت خطی

ابتداً V و W را دو فضای برداری روی میدان K تعریف می‌کنیم. یک تابع ${\displaystyle f:V\to W}$

• خاصیت پخشی تحت عملگر جمع
  • ${\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}$
• همگن بودن مرتبه اول تحت ضرب نرده‌ای
  • ${\displaystyle f(cu)=cf(u)}$

بنابراین، یک نگاشت خطی را حافظ عملیات می‌گوییم. به عبارت دیگر فرقی نمی‌کند که نگاشت خطی قبل یا بعد از عملیات جمع و ضرب اسکالر اعمال شود. طبق شرکت‌پذیری عملگر جمع + برای هر بردار ${\displaystyle u_1,u_2,\cdots ,u_n\in V}$

${\displaystyle f(c_1{u}_1+c_2{u}_2+\cdots +c_n{u}_n)=c_{1}f(u_1)+c_{2}f(u_2)+\cdots +c_{n}f(u_n)}$

که می‌گوییم هر نگاشت خطی، یک ترکیب خطی از عناصر را حفظ می‌کند.

جابجایی: چرخش ۹۰ درجه بر خلاف جهت عقربه‌های ساعت:

• دوران با زاویه θ در جهت خلاف عقربه‌های ساعت:

• بازتاب نسبت به محور x:

• بازتاب نسبت به محور y:

• تجانس با نسبت ۲ در همه جهات:

• نگاشت برشی افقی:

• نگاشت فشاری:

• تصویر کردن بر روی محور y:

• نگاشت غیرخطی