بیضی

در یونان باستان

بنابر تقریظی از اراتوستن، نخستین‌بار بیضی را منایخموس (۳۸۰ – ۳۲۰ پ.م.)، دوست نزدیک افلاطون، در تلاش برای حل تضعیف مکعب کشف کرد. آپولونیوس برای اولین بار نام «الپسیس» (یونانی:ἔλλειψις، به معنای «کمتر بودن») را بر روی بیضی گذاشت و اقلیدس (حدود ۳۶۵–۲۷۵ پ.م.) بررسی دقیقی از ویژگی‌های بیضی ارائه کرد. کانون‌های بیضی و خط‌های هادی را نخستین بار پاپوس اسکندرانی (حدود ۳۵۰ – ۲۹۰ پ.م.) بررسی کرد. او همچنین روشی برای تعریف یک بیضی با داشتن پنج نقطه ابداع کرد.ارشمیدس (۲۸۷ – ۲۱۲ پ.م.) در گزاره‌های ۷ و ۸ رسالهٔ «در باب مخروط‌گون‌ها و گوی‌گون‌ها» طریقهٔ جا دادن یک مخروط را در بیضی مرتبطش بررسی می‌کند. ارشمیدس آگاه بود که با داشتن یک مخروط با مقطع دایره‌ای می‌توان هر بیضی‌ای را ساخت، و می‌دانست که می‌توان بیضی را با برش استوانهای با مقطع دایره‌ای به دست آورد، و اینکه نسبت قطر عرضی بیضی به شعاع دایرهٔ مماس بر آن ثابت است و به مساحت بیضی مربوط می‌شود. در گزاره‌های ۲۷ تا ۳۲ در باب مخروط‌گون‌ها و گوی‌گون‌ها نیز ویژگی‌ها و قضایای مربوط به گوی‌گونها بررسی شده‌است.

نام آپولونیوس (اواخر قرن سوم – اوایل قرن دوم پیش از میلاد) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «مخروطات» را، که مشتمل بر هشت مقاله است، با مطالعهٔ مخروط آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی (سهمی، هذلولی، و بیضی)، به تعریف خط مماس آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است. آپولونیوس همچنین خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف و عدد پی (ثابتی لازم برای یافتن طول‌ها و مساحت دایره و بیضی) را محاسبه کرد.

در قرون وسطی

همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است. ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، بر خلاف مترجمان لاتین، به ترانویسی عبارات یونانی اکتفا نکردند و برای واژهٔ «الپسیس» اصطلاح «قطع ناقص» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند و هنوز در زبان عربی به بیضی «قطع ناقص» گفته می‌شود.

کتاب مفقودشدهٔ الشکل المدور المستطیل هم که به حسن بنی موسی منسوب شده‌است در مورد ترسیم بیضی بوده و به نظر می‌رسد بر اساس روش «ترسیم بیضی به روش باغبانی» (رسم بیضی با داشتن مجموع فواصل یک نقطه روی بیضی از دو کانون) باشد. دراین‌صورت ممکن است این اثر اولین جایی باشد که ترسیم بیضی به این روش در آن بحث شده‌است.ثابت بن قره نیز (که ترجمهٔ مقالات پنجم تا هفتم مخروطات را برای برادران بنوموسی انجام داده بود) در کتاب في قطوع الاستوانة و بسيطها نگاشتی را مطالعه می‌کند که بیضی با نیم‌قطرهای ${\displaystyle a}$

معماران و بنّاهای دورهٔ اسلامی هم، که به دلایل عملی نیاز به ترسیم بیضی داشته‌اند، ابزاری موسوم به پرگار تام ابداع کردند که با آن می‌توان مقاطع مخروطی را با حرکت اتصالی رسم کرد. ابوسهل بیژن کوهی در قرن چهارم هجری رساله‌ای به نام رسالة في البرکار التام و العمل به دربارهٔ این ابزار نوشته‌است.

رنسانس و قرون جدید

علاقه به مطالعهٔ مقاطع مخروطی پس از ارشمیدس و آپولونیوس در اروپای تحت کنترل امپراتوری روم و سپس کلیسای کاتولیک فروکش کرد و تا قرن شانزدهم میلادی پیشرفتی در این مورد روی نداد. نخستین نشانهٔ علاقهٔ جدید به مقاطع مخروطی را در لورنزو والا (۱۴۰۷ – ۱۴۶۷ میلادی) می‌توان یافت. کتاب والا، گونه‌ای دائرةالمعارف در مورد علوم مقدماتی است. در فصل سوم از کتاب هشتم بخشی با عنوان «مقاطع مخروطی» هست که در آن والا توضیحی کوتاه در مورد مساعی اقلیدس، آپولونیوس، و پاپوس می‌دهد. دو دهه بعد از والا، یوهانس ورنر پژوهش‌هایی در باب مقاطع مخروطی کرد، ولی در آثار او نامی از بیضی نیامده‌است. به گفتهٔ اروین پانوفسکی، طرح اجرانشدهٔ میکل آنژ برای مقبرهٔ پاپ ژولیوس دوم (طراحی شده در ۱۵۰۵ میلادی) به شکل بیضی بوده‌است، ولی اثری از این طرح نمانده. اولین نشانه‌های شکل بیضی در معماری غربی در آثار بالداساره پروتزی (۱۴۸۱ – ۱۵۳۷ میلادی) دیده می‌شود. پس از اینکه سباستیانو سرلیو آثار پروتزی را در کتاب هفت رسالهٔ معماری (انتشار در ۱۵۴۷ میلادی) بررسی کرد، استفاده از الگوهای بیضوی در معماری اروپا گسترش یافت. بااین‌وجود بیضی در میان نقاشان رنسانس، احتمالاً به‌خاطر مطالعات ایشان در باب ژرفانمایی شناخته‌شده بود. لئوناردو دا وینچی خود ابزاری برای ترسیم بیضی ساخت و آلبرشت دورر، که از ابزار بیضی‌کِشی دا وینچی باخبر بود، روشی بر اساس تصویرسازی موازی برای ترسیم بیضی ابداع کرد.

در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزیاش را ارائه کرد. در مدل خورشیدمرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره است؛ این امر با داده‌های ریاضی موجود نمی‌خوانْد و کوپرنیک خود از این نارسایی مدلش آگاه بود. در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خایوی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود. تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) با تکیه بر مشاهداتش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پایتخت امپراتوری مقدس روم پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند. بنابر قانون اول کپلر، خورشید همواره روی یکی از کانون‌های این بیضی قرار دارد. عبارت «کانون بیضی» را هم (که مفهوم آن را سده‌ها پیش آپولونیوس بیان کرده بود) کپلر نخستین بار در سال ۱۶۰۹ در کتاب ستاره‌شناسی نوین به کار برد. به نوشتهٔ کپلر در این کتاب، خورشید موتوری است که نیروی لازم برای حرکت سیاره‌ها را فراهم می‌کند و سرعت سیاره‌ها با نزدیک شدن به خورشید در خم مدارشان بیشتر می‌شود.

در سال ۱۵۷۸ میلادی، اسقف کلیسای انطاکیه آثاری شرقی را به فردیناندو دو مدیچی تقدیم کرد که در میان آن‌ها نسخه‌ای از مخروطات با ویرایش و اضافات ابوالفتح اصفهانی بود. مسئول کتابخانهٔ فردیناندو، جیووانی باتیستا از اهمیت مخروطات آگاه بود و بر آن بود که ترجمه‌ای از آن را منتشر کند، ولی پیش از انجام این کار درگذشت. گالیلئو گالیله نیز در چندین نامه خبر از قصدش برای ترجمهٔ مخروطات به لاتین داده بود اما به‌نظر تلاش چندانی در این زمینه انجام نداده است. در نهایت در سال ۱۶۶۱ ریاضی‌دان ایتالیایی جووانی آلفونسو بورلیِ با کمک کشیش مارونی ابراهیم حاقلانی موفق به ترجمه و چاپ مخروطات به لاتین شد. از آنجا که ابوالفتح اصفهانی در ترجمه‌اش قضایای مختلف را با هم ترکیب کرده بود و وفاداری چندانی به نسخهٔ اصلی آپولونیوس نداشت، ترجمهٔ لاتین بورلی تفاوت‌های متعددی با نسخهٔ اصلی مخروطات دارد.

همزمان دو نسخهٔ عربی دیگر از مخروطات به اروپا رسید. یکی نسخه‌ای نفیس از مخروطات بنوموسی (که امروزه در گنجینهٔ کتابخانه بادلین دانشگاه آکسفورد نگهداری می‌شود) و دیگری نسخه‌ای با ویرایش و اضافات عبدالملک شیرازی. ژاکوب گولیوس توانست هر دو نسخه را قرض بگیرد و نسخه‌ای کپی از روی آن‌ها بنویسد. گولیوس سپس، احتمالاً با کمک رنه دکارت، دست به ترجمهٔ مخروطات زد، ولی آن را چاپ نکرد و این اثر تا سی سال پس از مرگش در ۱۶۶۷ چاپ نشد. در نهایت ورثهٔ گولیوس در ۱۶۹۶ آثار او از جمله ترجمهٔ مخروطات را فروختند.

ریاضی‌دانان فرانسوی ژرار دوسارگ و بلز پاسکال مطالعهٔ مقاطع مخروطی را به فراتر از دانسته‌های یونانیان باستان گسترش دادند. ریاضی‌دان هم‌وطن آنان کلود میدورژ نیز اثبات‌های آپولونیوس را به شیوه‌ای سیستماتیک مدون کرد. در سال ۱۶۴۷ (کمتر از یک دهه پس از انتشار اثر میدورژ)، گرگوآر د سن-ویسنت نیز کتاب خود را با عنوان «اثر چهاربخشی هندسی: دایره و مقاطع مخروط» منتشر کرد. در این کتاب هر مقطع مخروطی بخش مخصوص خودش را دارد و تعدادی قضیه دربارهٔ هر یک اثبات شده‌است. بخش مربوط به بیضی مشتمل بر ۲۰۴ قضیه است. سن-وینسنت بیضی را به شیوهٔ ارشمیدس تعریف می‌کند.

یوهان د ویت هلندی (۱۶۲۵–۱۶۷۲ میلادی) هم بخش اول رساله‌ای که در ۱۶۵۸ چاپ کرد را به مقاطع مخروطی اختصاص داده‌است و بیضی را با روشی بدیع به عنوان مکان هندسی نقاطی با فاصلهٔ ثابت از یک خط و یک نقطه تعریف می‌کند. د ویت که تحت تأثیر دکارت بود تلاش داشت یافته‌های هندسی یونانیان را با نمادهای جبری بیان کند. بااین‌حال نقش اصلی در توسعهٔ هندسهٔ دکارتی بر عهدهٔ شاگرد دوسارگ فیلیپ دو لا هیر بود. لا هیر، در اثری که به خزانه‌دار فرانسه ژان-باتیست کولبر تقدیم شده‌است، اصول هندسی را به زبان ساده و آسان توضیح می‌دهد. هر مقطع مخروطی در فصل مخصوص خود بررسی شده‌است. بیضی به عنوان مکان هندسی نقاطی با مجموع ثابت فواصل از دو نقطه تعریف می‌شود و ویژگی‌های خط مماس، قطرهای مزدوج، و معادلهٔ آن بیان شده‌است و پس از آن بحثی در مورد مختصات دکارتی مقاطع مخروطی آمده‌است.رنه دکارت خود مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب هندسه تحلیلی بررسی کرده بود. بااین‌حال مهمترین اثر لا هیر «مقاطع مخروطی» نام دارد و از نُه کتاب تشکیل شده‌است. لا هیر در کتاب ۲ مخروط را به شیوهٔ آپولونیوس بیان می‌دارد و تعریف‌های جدیدی (از جمله directrix یا «خط هادی»، به عنوان خطی که با تبدیل بیضی به دایره به سمت بینهایت میل می‌کند) را نیز ارائه می‌کند. در کتاب ۳ معادلهٔ مقاطع مخروطی حاصل می‌شود و بقیهٔ اثر هم کم‌وبیش به شرح آرای آپولونیوس می‌پردازد.

نیوتن (۱۶۴۲–۱۷۲۷) در اصول ریاضی فلسفه طبیعی علاقهٔ خاصی به مقاطع مخروطی نشان می‌دهد و آن‌ها را «مسیر» می‌نامد. نیوتن با روشی که امروزه به «ساخت طبیعی نیوتن» موسوم است «مسیر»ها را با داشتن پنج نقطه تعریف می‌کند. سپس با استفاده از نگاشت خطی هر مسیر را با داشتن چهار نقطه و یک خط مماس، سه نقطه و دو خط مماس، و یک نقطه و چهار خط مماس تعریف می‌کند. مساعی آپولونیوس در باب مقاطع مخروطی، به‌ویژه مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود. همچنین نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و قوانین نیوتن مدار حرکت سیاره‌ها در بیضی کپلر را ثابت کرد.

بین سال‌های ۱۶۸۲ و ۱۷۰۵، ادموند هالی به منظور اثبات قوانین کپلر و قوانین نیوتن مشاهدات دقیقی را از حرکت دنباله‌داری که امروزه با نام او شناخته می‌شود انجام داد. نیوتن و هالی ثابت کردند که این دنباله‌دار در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردد و پیش‌بینی کردند که در ۱۷۵۸ در آسمان نمایان خواهد شد. نیوتن همچنین در اصول ریاضی فلسفه طبیعی بیش‌بینی کرد که شکل کرهٔ زمین کروی نیست و به شکل کره‌گون پَخ (حجمی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل می‌شود) است. در ۱۷۳۶، دانشمند فرانسوی پی‌یر لوئی موپرتوئی به پشتیبانی لوئی پانزدهم سفری تجسسی به لاپ‌لند انجام داد و این نظریهٔ نیوتن را ثابت کرد. هالی همچنین تلاش داشت با مقابلهٔ نسخه‌های بنوموسی، اصفهانی، و شیرازی مخروطات آپولونیوس را دقیقاً «بازسازی» کند و به همین منظور زبان عربی را آموخت. در سال ۱۷۱۰ نسخهٔ هالی از مخروطات با عنوان مقاطع مخروطی آپولونیوس پرگا از نسخ عربی به چاپ رسید. تا زمان ترجمهٔ توماس هیت از مخروطات در سال ۱۸۹۶، ترجمهٔ هالی نسخهٔ استاندارد و آموزشی این اثر باقی ماند.

پس از نیوتن

در دو قرن پس از نیوتن، عمدهٔ پیشرفت‌های مرتبط با مقاطع مخروطی در زمینهٔ هندسه تصویری صورت گرفت. ژان ویکتور پونسله در سال ۱۸۱۳ در جریان جنگ‌های ناپلئونی در روسیه اسیر جنگی بود و در زندان رساله‌ای با عنوان «خواص و ویژگی‌های تصاویر اشکال» نوشت و در آن برای اولین بار بین ویژگی‌های تصویری (ویژگی‌هایی که پس از تصویر کردن شکل در صفحه‌ای دیگر حفظ می‌شوند) و غیرتصویری تمایز قائل شد. در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند. در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است. یاکوب اشتاینر (۱۷۹۶ - ۱۸۶۳) نیز مقاطع مخروطی و رویه‌های درجه دوم مرتبط را به‌عنوان اشکالی صرفاً تصویری تعریف کرد و نشان داد که این برخورد به اثبات سریع‌تر و مستقیم‌تر ویژگی‌های آن‌ها می‌انجامد.کارل گئورگ کریستیان فان اشتات (۱۷۹۸ - ۱۸۶۷) هم نشان داد که رابطه‌ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می‌کند از خود منحنی بنیادی‌تر است و می‌تواند برای تعریف این منحنی‌ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا منحنی محاطی خطوطی که از قطب خودشان می‌گذرند) به‌کار رود.

با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی» می‌توان نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها را بهینه کرد.منطقه فرنل نیز با همین ویژگی بیضی به شکل کره‌گون ایجاد می‌شود و درک آن برای طراحی شبکه‌های بی‌سیم ضروری است. از آینههای بیضوی نیز برای تمرکز نور یک منبع در کانونی معین استفاده می‌شود. مدار بیضی در اخترپویاشناسی مداری کپلری است که برون‌مرکزی آن کمتر از ۱ باشد. نمونه‌های مدار بیضی، از جمله مدار هوهمان، در محاسبات پیش‌رانش فضاپیماها و مدار ماهوارهها اهمیت زیادی دارد. جواب عام نوسانگر هماهنگ در دو بعد یا بیشتر هم بیضی است. می‌توان چرخ‌دنده‌هایی به شکل بیضی ساخت که هر یک به محور یکی از کانون‌هایشان به‌نرمی مماس یکدیگر بچرخند. چرخ‌دنده‌های بیضوی معمولاً زمانی به‌کار می‌روند که سرعت متغیر حرکت چرخ‌دنده مطلوب باشد. در سیاست بین‌الملل، عبارت بیضی استراتژیک اشاره به منطقه‌ای در غرب آسیا دارد که دربرگیرندهٔ بیش از ۷۰ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ نفت و بیش از ۶۵ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ گاز طبیعی جهان است. نقشهٔ دفتر اصلی رئیس جمهور آمریکا در کاخ سفید به شکل بیضی است. به نوشتهٔ کریسچن ساینس مانیتور، وجود دو کانون در دفتر بیضی نماد دو کانون وظیفه در تصمیم‌گیری‌های سیاسی (سیاستمداران و مردم) است.

تعریف بیضی با اعمال تجانس بر دایره

بیضی را می‌توان به عنوان نتیجهٔ اعمال یک نگاشت خطی (تبدیل آفین) بر دایرهای به شعاع یک تعریف کرد. اگر ${\displaystyle a}$

‍

اگر ${\displaystyle a}$

از سوی دیگر، با اعمال تجانس ${\displaystyle (x,y)\to (x_1,y_1)=(x,y\cdot a/b)}$

بیضی به عنوان مقطع مخروطی

بیضی خمی بسته است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با ارتفاع و هر کدام از وترهای مخروط موازی نباشد. اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره (حالت خاص بیضی)، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با یکی از وترهای مخروط موازی باشد حاصل سهمی خواهد بود.

در هندسه تصویری، اشتقاق بیضی از مخروط معادل تصویر مرکزی یک دایره (مقطع مخروط) روی صفحه‌ای است که با صفحهٔ دایره زاویه‌ای تند دارد. می‌توان نشان داد که تصویر کردن دایره روی بیضی همان تعریف بیضی با اعمال تجانس آفین بر دایره است.

تعریف بیضی با دو کانون

تعریف دیگری از بیضی این است که بیضی مکان هندسی همهٔ نقاطی است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت (دو کانون) ثابت و برابر قطر بزرگ بیضی است. هر چه فاصلهٔ بین این دو نقطه کمتر باشد، خروج از مرکز بیضی کوچکتر است و شکل بیضی به دایره شبیه‌تر.

قطر بزرگ بیضی خط راستی است که دو کانون آن را به هم متصل می‌کند و از دو طرف تا منحنی ادامه می‌یابد. قطر کوچک بیضی عمود بر نقطهٔ وسط قطر بزرگ (با فاصلهٔ یکسان از دو کانون) قرار دارد. به دو خطی که به موازات قطر کوچک بیضی رسم می‌شوند و از کانون‌ها می‌گذرند «راست‌وتر کانونی» گفته می‌شود.

اثبات

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است. گیریم صفحهٔ ${\displaystyle e}$

• گیریم خطی که از ${\displaystyle P}$
  و رأس ${\displaystyle S}$
  می‌گذرد دو دایره را در نقاط ${\displaystyle P_1}$
  و ${\displaystyle P_2}$
  قطع کند.
• با حرکت ${\displaystyle P}$
  بر روی منحنی، ${\displaystyle P_1}$
  و ${\displaystyle P_2}$
  بر روی دو دایره حرکت می‌کنند.
• ${\displaystyle P{F}_1}$
  و ${\displaystyle P{P}_1}$
  هر دو از نقطهٔ ${\displaystyle P}$
  آغاز شده‌اند و بر دایرهٔ ${\displaystyle G_1}$
  مماسند، پس ${\displaystyle P{F}_1=P{P}_1}$
  (چرا که دو مثلث قائم‌الزاویهٔ ${\displaystyle MP{F}_1}$
  و ${\displaystyle MP{P}_1}$
  همنهشتند).
• به همین ترتیب ${\displaystyle P{F}_2=P{P}_2}$
  .
• از آنجا که ${\displaystyle k_1}$
  و ${\displaystyle k_2}$
  موازی‌اند، فاصلهٔ ${\displaystyle P_1}$
  و ${\displaystyle P_2}$
  همواره عدد ثابتی است. بنابراین با حرکت ${\displaystyle P}$
  روی منحنی فاصلهٔ ${\displaystyle d(F1,P)+d(F2,P)}$
  ثابت می‌ماند. پس ثابت می‌شود که منحنی مورد بحث همان بیضی است.

تعریف بیضی با یک کانون و یک خط هادی

بیضی را می‌توان با مسیر نقطه‌ای تعریف کرد که به‌گونه‌ای در صفحه حرکت می‌کند که نسبت فاصله‌اش از یک نقطهٔ خاص (کانون) و فاصله‌اش از خطی صاف (خط هادی) عددی ثابت و کوچکتر از یک باشد. هر مسیری که این شرط را احراز کند همین ویژگی را نسبت به یک کانون و خط هادی دیگر هم دارد، ازین‌رو بیضی را می‌توان با داشتن یکی از کانون‌ها و خط هادی متناظرش تعریف کرد. نسبت این فواصل با خروج از مرکز و مقدار مبین در معادلهٔ کلی همهٔ مقاطع مخروطی برابر است.

اثبات

اگر کانون برابر ${\displaystyle F=(f_1,f_2)}$

‍

${\displaystyle {\left(x-f_1\right)}^2+{\left(y-f_2\right)}^2=e^2\cdot \frac{{\left(ux+vy+w\right)}^2}{u^2+v^2}.}$

(در سمت راست معادله فاصلهٔ ${\displaystyle |Pl|}$

با استفاده از کره‌های دندلین هم می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است.

محاسبه معادله بیضی بر اساس معادله دایره

معادلهٔ بیضی را می‌توان بر اساس معادلهٔ دایره و با اعمال نگاشت خطی

‍

${\displaystyle M(\frac{x_1}{y_1})=(\frac{x}{y})}$

از آنجا که دترمینان ${\displaystyle M}$

‍

با اعمال ${\displaystyle M^{-1}}$

‍

${\displaystyle M^{-1}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{x}{a}\\ \frac{y}{b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]}$

و با قرار دادن ${\displaystyle (x_1,y_1)=(\frac{x}{a},\frac{y}{b})}$

‍

${\displaystyle (\frac{x}{a}{)}^2+(\frac{y}{b}{)}^2=1}$

معادله متعارف بیضی

هر معادله درجه دو با فرمول ${\displaystyle a^2\cdot x^2+b^2\cdot y^2-a^2\cdot b^2=0}$

اگر مرکز بیضی از مبدأ مختصاتی به نقطهٔ ${\displaystyle (x_0,y_0)}$

از معادله عام منحنی‌های درجه دو

برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو (یعنی

‍

${\displaystyle a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2fy+g=0}$

) بیضی باشد، باید تعریف کرد که

‍

که در آن ${\displaystyle J>0}$

‍

${\displaystyle x_0=\frac{cd-bf}{b^2-ac},}$

‍

${\displaystyle y_0=\frac{af-bd}{b^2-ac}.}$

و محورهای نیم‌بزرگ و نیم‌کوچک بیضی عبارت است از:

‍

${\displaystyle a^{\prime }=\sqrt{\frac{2(a{f}^2+c{d}^2+g{b}^2-2bdf-acg)}{(b^2-ac)[\sqrt{(a-c{)}^2+4b^2}-(a+c)]}}}$

‍

${\displaystyle b^{\prime }=\sqrt{\frac{2(a{f}^2+c{d}^2+g{b}^2-2bdf-acg)}{(b^2-ac)[-\sqrt{(a-c{)}^2+4b^2}-(a+c)]}}}$

معادله پارامتری

معادلهٔ پارامتری بیضی را می‌توان با اعمال تجانس (تبدیل آفین) ${\displaystyle y_1=b\cdot y}$

‍

${\displaystyle d_1(t)=(a\cdot cos(t),b\cdot sin(t))}$

که در آن

برای یافتن معادلهٔ پارامتری بیضی به صورت عبارت‌های گویا، می‌توان همان تجانس ${\displaystyle y_1=b\cdot y}$

‍

${\displaystyle d_1(t)=(a\cdot \frac{2t}{1+t^2},b\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2})}$

معادله قطبی

معادلهٔ قطبی بیضی معمولاً به مرکزیت یکی از کانون‌های آن نوشته می‌شود. اگر آغاز زاویهٔ ${\displaystyle \theta }$

‍

${\displaystyle r(\theta )=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }}$

زاویهٔ ${\displaystyle \theta }$

در دستگاه مختصات دوقطبی

مختصات دوقطبی بیضی‌ای که یکی از کانون‌هایش روی مبدأ مختصات باشد عبارت است از معادلهٔ

‍

${\displaystyle r_1+r_2=2a}$

که در آن ${\displaystyle a}$

کانون‌ها

هر بیضی روی قطر بزرگش دو کانون دارد که با نمادهای ${\displaystyle f_1(e,0)}$

محاسبه کرد. با دانستن این فرمول و استفاده از قضیه فیثاغورث، مشخص است که فاصلهٔ رأس‌های کوچک تا ${\displaystyle f_1}$

مجموع فواصل هر نقطهٔ ${\displaystyle p}$

روی محیط بیضی از دو کانون (${\displaystyle dist(p,f_1)+dist(p,f_2)}$

) برای هر بیضی همواره ثابت است.

بنابراین هر بیضی را می‌توان با داشتن دو کانون و یک نقطه روی محیط ترسیم کرد. برای اثبات این ویژگی، می‌توان نقطهٔ ${\displaystyle p(x,y)}$

${\displaystyle dist(p,f_1)+dist(p,f_2)=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}}$

و با استفاده از معادلهٔ بیضی (${\displaystyle b^2\cdot x^2+a^2\cdot x^2-a^2\cdot b^2=0}$

برون‌مرکزی

نسبت فاصلهٔ هر کانون از مرکز بیضی (${\displaystyle c}$

برون‌مرکزی بیضی برابر وارون ضربی برون مرکزی هذلولیای با نیم‌قطر بزرگ و کوچک برابر است.

خطوط هادی

اگر ${\displaystyle a}$

اگر نسبت فاصله هر نقطه روی بیضی از کانون به فاصله‌اش از خط هادی برابر ${\displaystyle r}$

‍

${\displaystyle r=\frac{a-c}{d-a}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{d}}$

و برای به دست آوردن ${\displaystyle d}$

‍

${\displaystyle d=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{r}}$

قطر مزدوج یک وتر

به موازات هر وتر ${\displaystyle AB}$

نیم‌راست‌وتر کانونی

وتری که از یکی از کانون‌ها می‌گذرد و بر قطر بزرگ بیضی عمود است «راست‌وتر کانونی» نامیده می‌شود. نصف این وتر، یعنی «نیم‌راست‌وتر کانونی» است که با حرف ${\displaystyle p}$

‍

${\displaystyle p=\frac{b^2}{a}}$

همچنین می‌توان با استفاده از معادلهٔ قطبی بیضی نشان داد که:

‍

${\displaystyle p=a(1-e^2)}$

خط مماس

اگر خطی یک بیضی را در ۱ و فقط ۱ نقطه قطع کند، گفته می‌شود که آن خط بر آن بیضی مماس است. از هر نقطه روی بیضی تنها یک خط مماس می‌گذرد. معادلهٔ خط مماس بیضی ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

‍

${\displaystyle \frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1}$

هر گاه دو خط مماس بیضی با هم زاویهٔ ۹۰° بسازند، نقطهٔ تقاطع آن دو خط مماس روی دایره‌ای قرار دارد که به دایره ارتوپتیک موسوم است و معادلهٔ آن عبارت است از:

‍

${\displaystyle x^2+y^2=a^2+b^2}$

نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی

نیمساز زاویهٔ بین دو پاره‌خط ${\displaystyle \overline{p{f}_1}}$

مساحت

مساحت بیضی برابر است با:

‍

${\displaystyle A_{\text{e}}=\pi ab}$

که در آن ${\displaystyle a}$

فرمول مساحت بیضی را با استفاده از انتگرال نیز می‌توان به‌سادگی محاسبه کرد. ابتدا معادلهٔ متعارف بیضی به صورت ${\displaystyle y(x)=b\sqrt{1-x^2/a^2}}$

‍

اگر معادلهٔ بیضی به‌شکل ${\displaystyle A{x}^2+Bxy+C{y}^2=1}$

محیط

از آن‌جا که فرمولی با فرم بسته (مثل فرمول محیط دایره، که حالت خاص بیضی است) برای محیط بیضی وجود ندارد، مسئلهٔ بیان محیط دقیق بیضی منجر به ایجاد توابع بیضوی شد که موضوعی مهم در ریاضیات و فیزیک است. برای محاسبه محیط بیضی، باید ابتدا انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را محاسبه کرد. به این ترتیب محیط بیضی با نیم‌قطر بزرگ ${\displaystyle a}$

‍

${\displaystyle S(a,b)=4aE(e)}$

،

که در آن ${\displaystyle e}$

‍

${\displaystyle E(e)={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta }$

محیط بیضی بر اساس انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را با استفاده از «سری گاوس-کومر» نیز می‌توان محاسبه کرد:

‍

${\displaystyle p=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{n})}^2{h}^{2n}}$

‍

${\displaystyle =\pi (a+b)(1+\frac{1}{4}{h}^2+\frac{1}{64}{h}^4+\frac{1}{256}{h}^6+...)}$

بااین‌همه فرمول‌های پرشماری برای تخمین محیط بیضی ارائه شده که هر یک نقاط قوت و ضعف خود را دارند. مثلاً فرمول ابداعی سرینیواسا رامانوجان (۱۸۸۷ – ۱۹۲۰) برای تخمین محیط بیضی عبارت است از:

‍

${\displaystyle P\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]}$

که برای بیضی‌هایی با برون‌مرکزی کم دقت بالایی دارد. یا راجر مارتنز در سال ۲۰۰۰ فرمولی برای تخمین محیط بیضی ارائه داد که خطای آن همیشه کمتر از ۰٫۳۶۱۹٪ است:

‍

${\displaystyle P\approx 4a(1+(1-e^2{)}^{y/2}{)}^{1/y}}$

با این‌حال شناخته‌شده‌ترین فرمول تخمین محیط بیضی فرمولی است که اویلر در سال ۱۷۷۳ ارائه کرد:

‍

${\displaystyle P\approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}}$

انحنا

انحنای بیضی برابر است با:

${\displaystyle \kappa =\frac{1}{a^2{b}^2}{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}\right)}^{-\frac{3}{2}}}$

.

شعاع انحنا در نقطهٔ ${\displaystyle (x,y)}$

‍

${\displaystyle \rho =a^2{b}^2{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}\right)}^{3/2}=\frac{1}{a^4{b}^4}\sqrt{{\left(a^4{y}^2+b^4{x}^2\right)}^3}}$

.

زاویه مماسی بیضی نیز از فرمول ${\displaystyle \varphi (t)=ta{n}^{-1}(\frac{a}{b}\tan t)}$

رابطهٔ بین قطب و خط قطبی

خط قطبی هر نقطه روی بیضی، از خود آن نقطه می‌گذرد. همچنین قطب هر خط قطبی‌ای که بر بیضی مماس است روی آن بیضی است. این رابطهٔ متقابل قطب و خط قطبی در مقاطع مخروطی اساس تعریف این دو ویژگی است. اگر معادلهٔ بیضی از معادلهٔ عام منحنی‌های درجهٔ دوم، یعنی به شکل:

${\displaystyle A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$

نوشته شود، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$

‍

${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$

که در آن ${\displaystyle D}$

‍

با داشتن معادلهٔ خط قطبی ${\displaystyle (Dx+Ey+F=0)}$

‍

با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به کره‌گون موسوم است. کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «کره‌گون کشیده» و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ» نام دارد. با اکستروژن موازی بیضی «استوانهٔ بیضوی» و با اکستروژن مرکزی آن «مخروط بیضوی» ساخته می‌شود.

حجم‌هایی که همهٔ سطوح مقاطعشان به شکل بیضی باشد به بیضی‌گون موسومند. بیضی‌گونی که در دو محورِ دستگاه مختصات دکارتی طولی مساوی داشته باشد کره‌گون و بیضی‌گونی که در هر سه محور طول مساوی داشته باشد کره است.

روش باغبانی

ترسیم بیضی با ویژگی کانون آن به «روش باغبانی» موسوم است. در این روش دو قطعه چوب در دو نقطه از زمین (کانون‌ها) کوبیده می‌شود. حلقه طنابی به طول ${\displaystyle 2a+2c}$

روش خاگار (ترامل)

اگر دو رأس یک پاره‌خط را در راستای دو خط متقاطع حرکت دهیم، هر نقطهٔ ثابت روی آن پاره‌خط (یا امتداد آن) مکان هندسی کمانی از یک بیضی خواهد بود. ترسیم بیضی با این روش به «روش خاگار (ترامل)» موسوم است. در گذشته نیز ابزاری با نام «ترامل» برای ترسیم فنی و همچنین به‌عنوان اسباب‌بازی تولید می‌شد که دو پین قابل تنظیم و یک گیره (برای اتصال قلم) داشت و با استفاده از آن می‌شد بیضی رسم کرد.

روش متوازی‌الأضلاع

روش متوازی‌الأضلاع یا تولید مخروطی اشتاینر را می‌توان زمان داشتن قطرهای بیضی یا یک وتر و قطر مزدوج آن به کار برد. در این روش یک متوازی‌الأضلاع (در تصویر مجاور ${\displaystyle AB{V}_1{V}_2}$

ترسیم تقریبی از بیضی با چهار مرکز

می‌توان با داشتن دو قطر بیضی، و با استفاده از پرگار شکلی تقریبی از بیضی ترسیم کرد. برای این منظور روی پاره‌خط AD، که انتهای قطرهای کوچک و بزرگ را به هم وصل می‌کند، نقطهٔ F در فاصله DF = b - a (تفاضل نیم‌قطرها) قرار داده می‌شود. از وسط AF خطی عمود خارج می‌شود که قطر بزرگ را در نقطهٔ ${\displaystyle G}$

یادکردها

فهرست منابع