کره‌های دندلین

در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند. در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است.

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است. گیریم صفحهٔ ${\displaystyle e}$

• گیریم خطی که از ${\displaystyle P}$
  و رأس ${\displaystyle S}$
  می‌گذرد دو دایره را در نقاط ${\displaystyle P_1}$
  و ${\displaystyle P_2}$
  قطع کند.
• با حرکت ${\displaystyle P}$
  بر روی منحنی، ${\displaystyle P_1}$
  و ${\displaystyle P_2}$
  بر روی دو دایره حرکت می‌کنند.
• ${\displaystyle P{F}_1}$
  و ${\displaystyle P{P}_1}$
  هر دو از نقطهٔ ${\displaystyle P}$
  آغاز شده‌اند و بر دایرهٔ ${\displaystyle G_1}$
  مماسند، پس ${\displaystyle P{F}_1=P{P}_1}$
  (چرا که دو مثلث قائم‌الزاویهٔ ${\displaystyle MP{F}_1}$
  و ${\displaystyle MP{P}_1}$
  همنهشتند).
• به همین ترتیب ${\displaystyle P{F}_2=P{P}_2}$
  .
• از آنجا که ${\displaystyle k_1}$
  و ${\displaystyle k_2}$
  موازی‌اند، فاصلهٔ ${\displaystyle P_1}$
  و ${\displaystyle P_2}$
  همواره عدد ثابتی است؛ بنابراین با حرکت ${\displaystyle P}$
  روی منحنی فاصلهٔ ${\displaystyle d(F1,P)+d(F2,P)}$
  ثابت می‌ماند. پس ثابت می‌شود که منحنی مورد بحث همان بیضی است.

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است.