تابع بیضوی

تابع بیضوی اولین بار توسط نیلس هنریک آبل به عنوان معکوس انتگرال بیضوی مطرح شد و توسط ژاکوبی گسترش یافت. از این تابع در مطالعات مربوط به محاسبهٔ طول قوس بیضی استفاده شده و به همین اساس نامگذاری شده است. توابع بیضوی ژاکوبی کاربردهای فراوانی در فیزیک یافت و خودش هم در اثبات بعضی مسائل در نظریه اعداد مقدماتی از آن استفاده کرد. کارل وایرشتراس مطالعات کامل تری راجع به این تابع انجام داد و تابع بیضوی ساده‌ای پیدا کرد که دیگر توابع را پوشش می‌داد.

یک تابع بیضوی تابعی ${\displaystyle f}$

«شبکهٔ تناوب ها» با ${\displaystyle \mathrm{\Lambda }=\left\{m{\omega }_1+n{\omega }_2\mid m,n\in \mathbb{Z}\right\}}$

1. تعداد ریشه‌ها در ر سلول محدود است.
2. مجموع باقیمانده‌ها در هر سلول صفر است.
3. قضیه لیویل برای تابع بیضوی: تابع بیضوی که در یک سلول قطب نداشته باشد، ثابت است.
4. تعداد صفرهای ${\displaystyle f(z)-c}$
   (درجه) برابر تعداد قطب‌های ${\displaystyle f(z)}$
   است.
5. ساده‌ترین تابع بیضوی درجه ۲ است. چون یک تابع درجه اول که قطب تحویل ناپذیر و باقیمانده غیر صفر داشته باشد، غیرممکن است.
6. تابع بیضوی که یک قطب درجه دو با باقیمانده صفر دارد را تابع بیضوی وایرشتراس گویند.

تابع بیضوی با دوقطب ساده با باقیمانده و را تابع بیضوی ژاکوبی گویند.

1. مجموع ریشه‌ها با مجموع قطب‌ها برابر است.
2. بین هر دو تابع بیضوی با دوره تناوب یکسان یک رابطه جبری برقرار است.تابع بیضوی

تابع بیضوی وایرشتراس ${\displaystyle \mathrm{\wp }\left(z\right)}$

${\displaystyle \mathrm{\wp }\left(z\right)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \mathrm{\Lambda }\setminus \left\{0\right\}}\left(\frac{1}{{\left(z-\omega \right)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)}$

این تابع با تبدیل ${\displaystyle z\mapsto z+\omega }$