تابع مرومورف

از آنجا که قطب‌های تابع مرومورف منزوی اند، حداکثر تعدادشان شماراست. مجموعه قطب‌ها ممکن است همچون تابع زیر نامتناهی باشد:

${\displaystyle f(z)=\csc z=\frac{1}{\sin z}.}$

با استفاده از ادامه تحلیلی جهت حذف تکینگی‌های برداشتنی، می توان توابع مرومورف را با هم جمع، تفریق یا ضرب کرد. دو تابع مرومورف را می توان بر هم تقسیم کرد مگر این که مخرج روی مؤلفه همبندی از دامنه صفر شود. ازین رو، اگر D مجموعه همبندی باشد، توابع مرومورف روی آن تشکیل میدانی داده که توسیع میدانی از اعداد مختلط اند.

• تمام توابع گویا، مثل:

${\displaystyle f(z)=\frac{z^3-2z+10}{z^5+3z-1},}$

روی کل صفحه مختلط مرومورف می باشند.

• توابع:

${\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z}}$

و ${\displaystyle f(z)=\frac{\sin z}{(z-1{)}^2}}$

به علاوه تابع گاما و تابع زتای ریمان، روی کل صفحه مختلط مرومورف اند.

• تابع:

${\displaystyle f(z)=e^{\frac{1}{z}}}$

روی کل صفحه مختلط بجز مبدأ مختصات تعریف شده. با این حال، 0 قطبی برای این تابع نیست، بلکه یک نقطه تکین اساسی است. ازین رو، این تابع در کل صفحه مختلط مرومورف نیست. با این حال، روی ${\displaystyle \mathbb{C}\setminus \{0\}}$

مرومورف (و حتی هولومورف) است.

• تابع لگاریتم مختلط:

${\displaystyle f(z)=\ln (z)}$

روی کل صفحه مختلط مرومورف نیست، چرا که نمی توان آن را با مستثنی کردن تنها مجموعه ای از نقاط منزوی (ایزوله) بر روی کل صفحه مختلط تعریف کرد.

• تابع:

${\displaystyle f(z)=\csc \frac{1}{z}=\frac{1}{\sin \left(\frac{1}{z}\right)}}$

روی کل صفحه مختلط مرومورف نیست، چرا که ${\displaystyle z=0}$

نقطه انباشتگی قطب‌ها بوده و ازین رو یک نقطه تکین تلقی نمی گردد.

• تابع:

${\displaystyle f(z)=\sin \frac{1}{z}}$

نیز مرومورف نیست، چرا که دارای نقطه تکین اساسی در 0 است.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Meromorphic Function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۳ آوریل ۲۰۲۱.