مختصات دوقطبی

معمول‌ترین تعریف مختصات دوقطبی (σ, τ) عبارت است از:

${\displaystyle x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

${\displaystyle y=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

که در آن مختصات σ نقطهٔ P برابر زاویه F₁ P F₂ است، و مختصات τ آن برابر لگاریتم طبیعی نسبت فاصله d₁ و d₂ به کانون

${\displaystyle \tau =\ln \frac{d_1}{d_2}}$

(فراموش نشود که F₁ و F₂ به‌ترتیب در (−a, 0) و (a, 0)قرار دارند) توجه شود که بازه σ از -π/۲ تا π/۲است و یازه τ از ${\displaystyle -\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left(\frac{\sigma +i\tau }{2}\right)}$