معادله دیفرانسیل

برای بسیاری از معادلات دیفرانسیل، ممکن است جوابی وجود نداشته باشد یا جوابشان یکتا نباشد. در صورتی که جواب یکتا وجود داشته باشد نیز، در اکثر مواقع اثبات می‌شود که جواب به صورت یک تابع مقدّماتی قابل‌بیان نیست.

به عنوان مثال، جواب معادلهٔ دیفرانسیل ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\sin (x)}{x}}$

در حقیقت، تابع نمایی نیز به این‌صورت تعریف می‌شود: تابعی که در معادلهٔ دیفرانسیل ${\displaystyle y^{\prime }=y}$

بنابرین، جواب اکثر معادلات دیفرانسیل خود یک تابع جدید است که با روش‌های عددی (تقریبی) و کامپیوتری (مانند روش‌های رونگه-کوتا) حل می‌شوند (از روش‌های دیگر عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره‌کرد).

در صورتی که جواب یک معادله وجود داشته باشد و یکتا باشد و به صورت یک تابع مقدّماتی قابل بیان باشد، برای پیدا کردن آن از روش‌های حل تحلیلی استفاده می‌شود (تنها برای ساده‌ترین معادلات دیفرانسیل جواب صریح وجود دارد).

در این حالت نیز یک راه حل کلّی برای حل تمام معادلات دیفرانسیل (قابل حل تحلیلی) وجود ندارد. دلیل این موضوع می‌تواند این باشد که هنوز چنین راه حلّی کشف نشده باشد یا این که چنین راه حل کلّی وجود نداشته باشد. به همین دلیل این معادلات به چنددسته تقسیم می‌شوند که برای هر کدام راه‌حلّی کشف شده‌است.

بعضی از معادلات دیفرانسیل در هیچ‌کدام از این دسته‌ها نیز قرار نمی‌گیرند و راه حلّی (تحلیلی) برای آنها وجود ندارد. در این میان روش‌های نیمه‌تحلیلی نیز وجود دارد که از آنها می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل اشاره‌کرد.

در نتیجه، برای حل یک معادلهٔ دیفرانسیل ابتدا باید بررسی کنیم که آیا جواب یکتا برای آن وجود دارد یا خیر و سپس این که در چه شاخه‌ای قرار دارد. اگر برای شاخهٔ مورد نظر حل تحلیلی وجود داشت، از آن روش استفاده می‌کنیم و در غیر این صورت از روش‌های عددی استفاده می‌کنیم. مسلّماً اگر جواب عددی برایمان کافی باشد، می‌توانیم از همان ابتدا از روش عددی استفاده کنیم.

در حل مسائل کلّی به ثابت انتگرال برمی‌خوریم. به عنوان مثال:

${\displaystyle y^{\prime }=1⟹y=\int 1\mathrm{d}x+c=x+c}$

به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع ${\displaystyle x+c}$

در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(x)=x+c⟹y(1)=1+c=2⟹c=1⟹y(x)=x+1}$

به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم (${\displaystyle y^{\prime }}$

معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد:

• معادلات دیفرانسیل معمولی (به انگلیسی: ordinary differential equation): در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیّر مستقل است. یک معادله شامل یک متغیّر مستقل ${\displaystyle x}$
  ، تابع ${\displaystyle y(x)}$
  و مشتقات آن را یک معادله دیفرانسیل عادی یا معمولی (به انگلیسی: ODE) می‌نامند.
• معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (به انگلیسی: partial differential equation): در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیّر مستقل می‌باشد. معادله‌ای پدید آمده از تابعی با بیش از یک متغیّر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی (به انگلیسی: PDE) می‌نامند.

خطی

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند.

اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را خطی و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم.

به عنوان مثال، معادلهٔ ${\displaystyle y^{\prime }=1}$

به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل خطی‌سازی می‌گویند.

از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد.

مرتبه

مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ ${\displaystyle y^{\prime }=1}$

همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

دستگاه معادلات دیفرانسیل

یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل دستگاه معادلات دیفرانسیل می‌دهند.

از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود.

معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل (به انگلیسی: First-Order Differential Equations) گروهی از معادلات دیفرانسیل هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y\mathrm{\prime }=f(x,y)}$

به عنوان مثال ${\displaystyle y\mathrm{\prime }=2x}$

یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:

${\displaystyle M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0}$

برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهمترین آنها می‌توان به مرتبه اول خطی و مرتبه اول تفکیک‌پذیر اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

قضیۀ وجود و یکتایی

قضیهٔ پیکارد-لیندلوف (به انگلیسی: Picard–Lindelöf theorem): این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر ${\displaystyle f}$

در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی ${\displaystyle f}$

اگر توابع ${\displaystyle f}$

بازه‌ای از ${\displaystyle x}$

توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد.

مرتبۀ اول خطی

در صورتی که درجهٔ ${\displaystyle y}$

در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه ${\displaystyle L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=V}$

برنولی

معادلهٔ دیفرانسیل برنولی (به انگلیسی: Bernoulli differential equation) معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت ${\displaystyle y^{\prime }+p(t)y=q(t)y^n}$

برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر ${\displaystyle u=y^{n-1}}$

${\displaystyle y^{\prime }+p(t)y=q(t)y^n⟹y^{-n}{y}^{\prime }+p(t)y^{1-n}=q(t)⟹\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+p(t)u=q(t)⟹\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+(1-n)p(t)u=(1-n)q(t)}$

مرتبۀ اول تفکیک‌پذیر

معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر (به انگلیسی: separable first-order differential equations) معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (${\displaystyle M}$

${\displaystyle M(x)\mathrm{d}x=N(y)\mathrm{d}y}$

برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:

${\displaystyle f(x)=g(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

با فرض این که ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F^{\prime }(x)=G^{\prime }(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

${\displaystyle G^{\prime }(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}G(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}G(y)}$

در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}G(y)}$

در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F(x)=G(y)+c}$

به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle \int f(s)\mathrm{d}s=\int g(s)\mathrm{d}s}$

مرتبۀ اول همگن

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم ${\displaystyle M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0}$

به عبارتی دیگر ${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}M(x,y)}$

توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع (${\displaystyle n}$

حال درصورتی که ${\displaystyle \lambda =\frac{1}{x}}$

${\displaystyle y\mathrm{\prime }=f(x,y)=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=\frac{x^n(\frac{1}{x^n}M(x,y))}{x^n(\frac{1}{x^n}N(x,y))}=\frac{x^n({\lambda }^{n}M(x,y))}{x^n({\lambda }^{n}N(x,y))}=\frac{x^{n}M(\lambda x,\lambda y)}{x^{n}N(\lambda x,\lambda y)}=\frac{M(1,\frac{y}{x})}{N(1,\frac{y}{x})}=f(1,\frac{y}{x})}$

به عبارتی دیگر ${\displaystyle y\mathrm{\prime }}$

به عنوان مثال، معادلهٔ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-4x}{x-y}}$

یک حالت خاص

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم ${\displaystyle (ax+by+c)\mathrm{d}x+(ex+fy+g)\mathrm{d}y=0}$

جواب‌های دو معادله دومجهولی ${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle \alpha =\frac{cf-bg}{be-af},\beta =\frac{ag-ce}{be-af}}$

سپس با تغییر متغیّر ${\displaystyle X=x-\alpha }$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=-\frac{aX+bY}{eX+fY}}$

مرتبۀ اول خودگردان

در صورتی که نرخ رشد یک تابع (${\displaystyle y(x)}$

رشد نمایی

معادلهٔ رشد نمایی ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند.

این معادلات را می‌توان به فرم ${\displaystyle y\mathrm{\prime }=ry}$

رشد لجستیک

معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست (به انگلیسی: Verhulst equation or Logistic equation) از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی (به فرانسوی: Pierre François Verhulst) برای مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد.

به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند.

این معادلات را می‌توان به فرم ${\displaystyle y\mathrm{\prime }=(r-ay)y}$

به ثابت ${\displaystyle r>0}$

به ثابت ${\displaystyle K}$

حل این معادلات به صورت زیر است:${\displaystyle y\mathrm{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=r(1-\frac{y}{K})y⟹r\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}y}{(1-\frac{y}{K})y}=(\frac{1}{y}+\frac{\frac{1}{K}}{1-\frac{y}{K}})\mathrm{d}y⟹\int r\mathrm{d}t=\int \frac{1}{y}+\frac{\frac{1}{K}}{1-\frac{y}{K}}\mathrm{d}y⟹rt+c=\ln y-\ln (1-\frac{y}{K})⟹e^{rt+c}=\frac{y}{1-\frac{y}{K}}}$

مرتبۀ اول کامل

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم ${\displaystyle M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0}$

معادلهٔ مورد نظر کامل (به انگلیسی: exact differential equations) است اگر و تنها اگر ${\displaystyle M_y(x,y)=N_x(x,y)}$

به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند ${\displaystyle \psi (x,y)}$

برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد:

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0=\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}⟹\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}=0⟹\psi =c}$

در نتیجه با قرار دادن ${\displaystyle \psi (x,y)=c}$

عامل انتگرال‌ساز

در بعضی موارد که معادلهٔ ${\displaystyle M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0}$

مشکل این ترفند در پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید:

${\displaystyle (\mu M{)}_y=(\mu N{)}_x⟹M{\mu }_y-N{\mu }_x+(M_y-N_x)\mu =0}$

امّا پیدا کردن ${\displaystyle \mu }$

یک مثال

معادلهٔ ${\displaystyle 3xy+y^2+(x^2+xy)y^{\prime }=0}$

برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس ${\displaystyle {\mu }_y=0}$

${\displaystyle (\mu M{)}_y=(\mu N{)}_x⟹-N{\mu }_x+(M_y-N_x)\mu =0⟹\frac{{\mu }_x}{\mu }=\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{1}{x}⟹\mu =x}$

معادلهٔ جدید به صورت ${\displaystyle 3x^{2}y+x{y}^2+(x^3+x^{2}y)y^{\prime }=0}$

باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید.

تابعی مانند ${\displaystyle \psi (x,y)}$

${\displaystyle \psi =\int {\psi }_x\mathrm{d}x=\int M\mathrm{d}x=x^{3}y+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+h(y)⟹{\psi }_y=x^3+x^{2}y+h^{\prime }(y)}$

از طرفی می‌دانستیم که ${\displaystyle {\psi }_y=N=x^3+x^{2}y}$

${\displaystyle {\psi }_y=x^3+x^{2}y+h^{\prime }(y)=x^3+x^{2}y⟹h^{\prime }=0⟹h=c}$

${\displaystyle ⟹\psi =x^{3}y+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+c}$

برای حل معادلات کامل باید از ${\displaystyle \psi =c}$

${\displaystyle x^{3}y+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2=c}$

در ادامه می‌توان ${\displaystyle y}$

همچنین توجّه داشته باشید که ${\displaystyle \mu }$

• قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
• معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
• واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
• معادله موج
• معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
• معادلات پواسن
• معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
• مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
• فرمول انیشتین.
• قانون گرانش نیوتن.
• معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
• معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
• معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
• معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
• معادله موج برای تار مرتعش.
• نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی.
• نظریه پتانسیل.
• معادله موج برای غشای مرتعش.
• معادلات شکار و شکارچی.
• مکانیک غیر خطی.
• مسئلهٔ مکانیکی آبل.
• معادلات دسته لین-امدن
• معادله ابرگاز کروی
• معادله کوتوله سفید
• معادلات امدن-فاولر
• معادله جمعیتی ولترا
• معادله توماس فرمی
• معادله بلاسیوس
• معادله فالکنر اسکن
• معادله فوکر-پلانک
• معادله لوتکا ولترا در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی
• معادله زابولوتسکایا-خوخولوف
• معادله برنولی

مدل‌سازی ریاضیاتی

• سیمونز آرش دارابی فرد ج.اف. معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، ترجمه:علی اکبر بابایی، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ یازدهم

• معادلات دیفرانسیل در متلب