قاعده زنجیره‌ای

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای رابطه‌ای برای یافتن مشتق ترکیب دو تابع است.

نمودار مشتقی برای توابع های زنجیزه ای

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام $u$

باشد، و $u$ نیز خود تابع متغیر سوم $x$ باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر $y$ نسبت به $x$ برابر است با آهنگ تغییر $y$ نسبت به $u$ ضرب در آهنگ تغییر $u$ نسبت به $x$ . به زبان ریاضی:

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}.

اثبات

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها

برای اثبات قاعده‌ی زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا $y=f(x)$

و

x=g(t)

را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک

\Delta t\not =0

،

\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)

و بصورت متقابل،

\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

را محاسبه می‌کنیم. داریم:

{\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {\Delta x}{\Delta t}}

و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطه‌ی پایین، یعنی همان قاعده‌ی زنجیره‌ای، دست می‌یابیم.

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

مثال‌ها

اگر تابع $g(x)$

‎ در نقطه

x=a

و تابع

f

در

x=g(a)

‎ مشتق پذیر باشند آنگاه تابع

h(x)=f(g(x))

نیز در

x=a

مشتق پذیر است و داریم:

$h'(a)=f'(g(a)).g'(a)$

مثلاً اگر $f(x)=x^{n}\!$

که در آن

n\in Z

باشد مشتق تابع

F(x)=(g(x))^{n}\!

در نقاط مشتق پذیر برابر است با:

F'(a)=n(g(a))^{n-1}g'(a)\!

منابع

کتاب انتگرال و دیفرانسیل دوره پیش دانشگاهی رشته علوم ریاضی (ریاضی-فیزیک) ISBN 964-05-0277-4

قاعده زنجیره‌ای

فهرست

اثبات

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها

مثال‌ها

منابع

جستارهای وابسته