فضای برداری

در ریاضیات، فیزیک و مهندسی، فضای برداری (یا فضای خطی) (به انگلیسی: Vector Space) به مجموعه‌ای از اشیاء (به نام بردار) گفته می‌شود که بر روی آنها دو عمل جمع و ضرب در مقدار نرده‌ای تعریف شده باشد. معمولاً این اسکالر یک عدد حقیقی است ولی در حالت کلی می‌توان آن را عضو هر میدانی مثل اعداد مختلط در نظر گرفت. این دو عمل باید به نحوی تعریف شده باشند که چند قاعده یا اصل موضوعی را رعایت کنند (که در قسمت § تعریف به آن می‌پردازیم). برای مشخص کردن این که اسکالرهای فضای برداری حقیقی هستند یا مختلط، از عبارت‌های فضای برداری حقیقی یا فضای برداری مختلط استفاده می‌شود.

فضای برداری مجموعه‌ای از بردارها است که مقیاس‌پذیرند و قابلیت جمع شدن را دارند

جمع برداری و ضرب در مقدار نرده‌ای در فضای اقلیدسی: بردار

{\vec {v}}

(آبی) با بردار ${\vec {w}}$ (قرمز) جمع شده‌است (تصویر بالایی). در تصویر پایین، ${\vec {w}}$ در اسکالر ۲ ضرب شده و مجموع آنها عبارت است از:

{\vec {v}}+2{\vec {w}}

مجموعهٔ بردارهای اقلیدسی نمونه ای از فضای برداری است. از بردارهای اقلیدسی در نمایش کمیت‌های برداری در فیزیک استفاده می‌شود. برای پیدا کردن نیروی خالص وارد بر یک جسم، همهٔ نیروهای وارد بر آن را جمع برداری می‌کنیم؛ همچنین به عنوان مثال بردار نیرو از ضرب بردار شتاب در جرم (یک کمیت نرده‌ای) به دست می‌آید.

در حالت کلی بردارهای یک فضای برداری لزوماً یک بردار اقلیدسی نیستند پس لزوماً با فلش نمایش داده نمی‌شوند. به عبارت دیگر بردار یک شیء انتزاعی است و تنها گاهی می‌توان آنها را با پیکان نمایش داد.

امروزه فضاهای برداری در ریاضیات، علم و مهندسی استفاده می‌شوند. فضاهای برداری در جبر خطی استفاده می‌شوند و برای کار با دستگاه‌های معادلات خطی استفاده می‌شوند. همچنین محیطی فراهم می‌کنند که برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و بسط فوریه استفاده می‌شود. به علاوه سنگ بنایی برای تعمیم به اشیاء هندسی و فیزیکی کلی‌تر مانند ماتریس و تنسورها هستند.

تعریف

یک فضای برداری $(V,+,\cdot )$

بر روی یک میدان اسکالر

F

(مانند میدان اعداد حقیقی

\mathbb {R}

) یک مجموعه از بردارها

V

به همراه دو عملگر جمع و ضرب اسکالر است.

مجموعهٔ $V\neq \varnothing$ ناتهی است.
عملگر جمع $+:V\times V\rightarrow V$ یک عمل دوتایی روی دو بردار از $V$ است.
عملگر ضرب $\cdot :F\times V\rightarrow V$ یک عمل دوتایی بین یک بردار از $V$ و یک اسکالر از $F$ است (این عمل (ضرب در اسکالر) نباید با ضرب داخلی اشتباه شود، در ضرب داخلی دو بردار در هم ضرب می‌شوند و یک اسکالر به دست می‌آید در حالی که در ضرب اسکالر، یک بردار در یک اسکالر ضرب می‌شود و یک بردار جدید به دست می‌آید).

اصول موضوعی

به ازای هر بردار $v$

و

u

و

w

از مجموعهٔ

V

و هر اسکالر

a

و

b

از میدان

F

باید ده اصل موضوعی زیر رعایت شوند تا بتوان آنها را فضای برداری تعریف کرد:


قاعده			توضیح	دقیق
بیان جبر مجرد		بیان ساده	توضیح	دقیق
بستار		بسته نسبت به جمع	جمع $v$ و $u$ در $V$ وجود داشته باشد.	$v+u\in V$
بستار		بسته نسبت به ضرب	ضرب $v$ و $a$ در $V$ وجود داشته باشد.	$a\cdot v\in V$
$V$ نسبت به + گروه آبلی باشد	گروه باشد	همانی در جمع	یک عنصر همانی در $V$ وجود دارد که جمع آن با هر برداری همان بردار شود.	$\exists 0\in V:0+v=v$
		وارون در جمع	یک عنصر وارون $v$ در $V$ وجود دارد که جمعش با $v$ برابر عنصر همانی شود.	$\exists -\!v\in V:-\!v+v=0$
		شرکت‌پذیری در جمع	پرانتزگذاری در جمع بی‌تأثیر باشد.	$(v+u)+w=v+(u+w)$
	جابه‌جاپذیری در جمع		جابه‌جایی در جمع بی‌تأثیر باشد.	$v+u=u+v$
این گروه یک $F$ -مدول باشد	همانی ضرب		ضرب عنصر همانی میدان $F$ در هر برداری همان بردار شود.	$1\cdot v=v$
	توزیع‌پذیری ضرب	پخش‌پذیری اسکالر	ضرب اسکالرها در جمع بردارها پخش‌پذیر باشد.	$a\cdot (v+u)=a\!\cdot \!v+a\!\cdot \!u$
	توزیع‌پذیری ضرب	پخش‌پذیری بردار	ضرب بردارها در جمع اسکالرها پخش‌پذیر باشد.	$(a+b)\cdot v=a\!\cdot \!v+b\!\cdot \!v$
	سازگاری ضرب میدان با ضرب فضای برداری		پرانتزگذاری ضرب اسکالرها و ضرب بردار در اسکالر بی‌تأثیر باشد.	$(a\!\cdot \!b)\cdot v=a\cdot (b\!\cdot \!v)$

جمع و ضرب عملگر هستند و طبق تعریف عملگر، بسته بودن جزو قواعد آنها هست. در نتیجه دو قاعدهٔ ابتدایی در مورد بسته بودن تکراری است و در کتاب‌های منبع جدیدتر نوشته نمی‌شوند.

نتایج

از اصول یادشده می‌توان به نتایج زیر رسید:

عنصر همانی یکتا است.
وارون جمع هر برداری یکتا است.
$-v=(-1)\cdot v$
$av=0\Longleftrightarrow (a=0\lor v=0)$

پوچساز

هرگاه $V$

فضایی برداری باشد بر میدان

F

و

S

زیرمجموعه‌ای از

V

باشد، در این صورت پوچساز

S

عبارتست از تابعک‌های خطی

f

روی

V

که به ازای هر

\alpha

در

S

داریم

f(\alpha )=0

. پوچساز را با

S^{\circ }

نشان می‌دهند.

در واقع داریم:

$S^{\circ }={\big \{}f|f(\alpha )=0\quad \forall \alpha \in S{\big \}}$

جستارهای وابسته

فضاهای برداری با ساختار بیشتر

منابع

↑ Linear Algebra and Its Applications. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
↑ هافمن، صفحهٔ ۲۸

Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8
Kenneth Hoffman, Ray Kunze، «۲»، Linear Algebra (ویراست Second Edition)، Prentice-Hall, Inc.، ص. ۲۸

[:0-1] Linear Algebra and Its Applications. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.

[2] هافمن، صفحهٔ ۲۸