حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

فضای ضرب داخلی

با توجه به مفهوم ضرب داخلی و یک فضای برداری، فضای ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner product space) عبارتست از یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط) با ضرب داخلی‌ای مشخص بر روی آن.

فهرست

  • ۱ ضرب‌های داخلی
  • ۲ تعریف
  • ۳ خاصیت های ضرب داخلی
  • ۴ جستارهای وابسته
  • ۵ منابع

ضرب‌های داخلی

مثالی از ضرب داخلی، همان ضرب نقطه‌ای یا اسکالری بردارها در R 3

است.ضرب اسکالری بردارهای α = ( x 1 , x 2 , x 3 )
و β = ( y 1 , y 2 , y 3 )
در R 3
عبارت است از:

( α | β ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3

از نظر هندسی، این ضرب نقطه‌ای عبارت است از حاصل ضرب طول α

در طول β
در کسینوس زاویه‌ی بین α
و β
. بنابراین مفاهیم طول و زاویه را در R 3
می‌توان با ضرب اسکالری که به طور جبری تعریف می‌شود نیز تعریف کرد. حال تعریف ضرب داخلی را بسط می‌دهیم.

تعریف

فرض کنیم F هیئت اعداد حقیقی یا هیئت اعداد مختلط و V فضایی برداری برروی F باشد.یک ضرب داخلی روی V تابعی است که به هر جفت مرتب از بردارهای α

و β
اسکالری چون ( α | β )
در F را طوری اختصاص می‌دهد که به ازای همه‌ی α
ها، β
ها و γ
های در V و همه‌ی اسکالرهای c داشته باشیم:

1. ( α + β | γ ) = ( α | γ ) + ( β | γ )

2. ( c α | β ) = c ( α | β )

3. ( β | α ) = ( α | β )

4. ( α | α ) ≥ 0

البته اگر در فضای مختلط باشد ویژگی سوم با ویژگی زیر عوض می شود.

3. ( β | α ) = ( α | β ) ¯

ویژگی اول و دوم به خطی بودن رابطه مربوط اند.

خاصیت های ضرب داخلی

مفاهیمی نظیر طول و تعامد به‌وسیله ضرب داخلی روی فضا تحمیل می‌شوند.

به یک فضای ضرب داخلی مختلط فضای یکانی و به یک فضای ضرب داخلی حقیقی با بعد متناهی یک فضای اقلیدسی می‌گویند.

طبق یک قضیه اگر V

یک فضای ضرب داخلی باشد آنگاه به ازای هر دو بردار α
و β
در V
و هر اسکالر c
:

  • ‖ c α ‖ =∣ c ∣ ‖ α ‖
  • به ازای α ≠ 0
    ، ‖ α ‖ ≥ 0
  • ∣ ( α ∣ β ) ∣≤ ‖ α ‖ ‖ β ‖
    (نابرابری کوشی-شوارتز)
  • ‖ α + β ‖ ≤ ‖ α ‖ + ‖ β ‖

جستارهای وابسته

  • فضای برداری

منابع

  • کنت هافمن (۱۳۸۵)، جبر خطی، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۳۶۰، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X
آخرین نظرات
  • بعد
  • فضا
  • بعد
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.