دستگاه معادلات خطی
در ریاضیات، دستگاه معادلات خطی به معنی مجموعهای از تعدادی معادلهٔ خطی است. برای مثال:
یک دستگاه از ۳ معادلهٔ خطی با ۳ مجهول
جواب یک دستگاه خطی به معنی مقداردهی به هر مجهول است به طوری که با جایگذاری آنها معادلات دستگاه برقرار باشند. جواب مثال مذکور
این مفهوم پایه و اساس جبر خطی است و نقش مهمی در مهندسی، فیزیک، شیمی، علوم کامپیوتر و اقتصاد دارد. الگوریتمهای پیدا کردن جواب این دستگاهها بخش مهمی از جبر خطی عددی است. برای سادگی حل سامانههای پیچیده، میتوان دستگاهی از معادلات غیرخطی را با خطیسازی به یک دستگاه معادلهٔ خطی تقریب زد.
مجموعه جواب
جواب یک دستگاه معادلات خطی لزوماً یکتا نیست. به عنوان مثال
اگر دو دستگاه مجموعه جواب یکسانی داشته باشند آن دو را معادل میگوییم. مثال:
دستگاه
تعبیر هندسی
در یک دستگاه دومجهولی
در دستگاهی با سه مجهول، هر معادله یک معادله صفحه در فضای سهبعدی است.
تقاطع چند صفحه در فضا میتواند یک خط یا نقطه یا صفحه باشد. همچنین ممکن است نقطهٔ تقاطع مشترکی وجود نداشته باشد.
این تعبیر را میتوان برای فضای
در نتیجه یک دستگاه
همچنین اگر تعداد معادلات بیشتر بود در حالت کلی جواب وجود ندارد و اگر کمتر بود بیشمار جواب وجود دارد.
فرم کلی
در حالت کلی دستگاه با مجهولهای
توصیف با ماتریس
با تعریف ماتریسهای
میتوان دستگاه مذکور را به صورت
با چسباندن
اگر
اگر
توصیف با بردار
یک بیان بسیار کاربردی دیگر به کمک بردار است. با تعریف بردارهای
حل
برای حل دستگاه روشهایی وجود دارد که دو روش حذفی و جانشینی (جایگذاری) در ادامه توضیح داده شدهاند.
روش حذفی:
در این روش هر یک از دو معادله مفروض را در عددی ضرب میکنیم که ضریبهای یکی از مجهولها در دو معادله قرینه شود، آنگاه طرفین دو معادله را نظیر به نظیر جمع میکنیم و ساده میکنیم، پس از پیدا شدن یکی از مجهولها آن را در یکی از دو معادله قرار میدهیم و مجهول دیگر را بدست میآوریم.
روش جانشینی (جایگذاری):
در این روش از هر دو معادله x یا y را پیدا نموده و مساوی هم قرار میدهیم.
منابع
- ↑ Linear Algebra and Its Applications. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
- ↑ Linear algebra done right. ج. Third Edition جلد. به کوشش Sheldon Axler.
- جبر خطّی عددی (انگلیسی)
- Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8
جستارهای وابسته
منابع بیشتر
- ویدیوهای آموزشی دستگاه معادلات خطی (جبر خطی پیش دانشگاهی) به زبان فارسی: [۱]