حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

فضای برداری نرم‌دار

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار (به انگلیسی: Normed Vector Space) یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد. نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت x ↦ ‖ x ‖ , {\displaystyle x\mapsto \|x\|,}

نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:

  1. نامنفی است، یعنی برای هر بردار x {\displaystyle x}
    داریم ‖ x ‖ ≥ 0 {\displaystyle \|x\|\geq 0}
    .
  2. روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:
    ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0. {\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}
  3. برای هر بردار x {\displaystyle x}
    ، و هر اسکالر α {\displaystyle \alpha }
    داریم:
    ‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖ . {\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}
  4. نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار x , y {\displaystyle x,y}
    داریم:
    ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ . {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}
سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه ای از فضاهای متری هستند، که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم دار می باشند.

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:

d ( x , y ) = ‖ y − x ‖ . {\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر d {\displaystyle d}

مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.

پانویس

  1. ↑ Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
  2. ↑ Rudin 1991, pp. 3-4.

منابع

  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
  • Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
  • Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  • Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

    پیوندهای بیرونی

    • پرونده‌های رسانه‌ای مربوط به Normed spaces در ویکی‌انبار 
    آخرین نظرات
    کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.