همریختی
در جبر مجرد، همریختی یا همومورفیسم (به انگلیسی: homomorphism)، نگاشتی محافظتکننده-از-ساختار بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری) است. هر همریختی که یک به یک و پوشا باشد را یکریختی مینامیم. کلمهٔ همومرفیسم در زبان یونان باستان از کلمهٔ ὁμός (homos) به معنی «یکسان» و μορφή (morphe) به معنی «ریخت» یا «شکل» گرفته شدهاست.
همریختی فضاهای برداری را نگاشتهای خطی، و مطالعهشان را جبر خطی گویند.
مفهوم همریختی تحت عنوان ریخت، به ساختارهای بسیار دیگری که بنیان مجموعه ای ندارند یا حتی جبری نیستند نیز تعمیم یافتهاست. این تعمیم نقطه آغازین نظریه رستههاست.
همریختی میتواند یکریختی، درونریختی، خودریختی و … نیز باشد. (ادامه مقاله را ببینید). هر کدام از اینها را میتوان به گونهای تعریف کرد که به هر کلاس از ریختها نیز تعمیم یابد.
تعریف
یک همریختی، نگاشتی بین دو ساختار جبری از یک سنخ میباشد که عملیات ساختارها را حفظ میکند؛ یعنی نگاشتی چون
میگویند
بهطور صوری، نگاشتی چون
عملیاتی که باید تحت همریختیها حفظ شوند شامل عملیات ۰-تایی، یعنی ثوابت نیز میشود. زمانی که ساختارهای مذکور عنصر همانی داشته باشند، عنصر همانی دامنه باید به عنصر همانی متناظر با آن در همدامنه نگاشته شود.
به عنوان مثال:
- یک همریختی نیمگروهی نگاشتی بین نیمگروههاست که عمل نیمگروه را حفظ میکند.
- یک همریختی مونوئیدی نگاشتی بین مونوئیدهاست که عمل مونوئید را حفظ کرده و عنصر همانی مونوئید اول را به عمل دوتایی مونوئید دومو مینگارد (درینجا عنصر همانی عمل ۰-تاییست).
- یک همریختی گروهی، نگاشتی بین گروههاست که عمل گروهی را حفظ میکند. این همریختی منجر به این میشود که عنصر همانی گروه اول به عنصر همانی گروه دوم نگاشته شده و عنصر معکوس یک عضو از گروه اول به معکوس تصویر آن عضو نگاشته میشود؛ لذا همریختی نیمگروهی بین گروهها لزوماً یک همریختی گروهیست.
- یک همریختی حلقه ای نگاشتی بین حلقههاست که جمع حلقه ای، ضرب حلقه ای و عنصر همانی ضربی حلقه را حفظ میکند. این که آیا همانی ضربی حفظ میشود بستگی به تعریف حلقه مورد استفاده دارد. اگر همانی ضربی حفظ نشود، به تعریف همریختی رانگ rng میرسیم.
- نگاشت خطی همریختی ای از فضاهای برداریست؛ یعنی همریختی گروهی بین فضاهای برداری که ساختار گروه آبلی و ضرب اسکالر را حفظ میکند.
- یک همریختی مدولی که به آن نگاشت خطی بین مدولها نیز گفته میشود بهطور مشابه تعریف میشود.
- یک همریختی جبری نگاشتی است که عملیات جبری را حفظ میکند.
ممکن است یک ساختار جبری بیش از یک عمل داشته باشد و برای حفظ هر کدام از آن عملها نیاز به یک همریختیست؛ لذا نگاشتی که فقط برخی از آن عملها را حفظ کند همریختی ساخار نیست، بلکه صرفاً هم ریختی آن ساختار تحت عملهای حفظ شده میباشد. به عنوان مثال، نگاشتی بین مونوئیدها که عمل مونوئید را حفظ کرده اما عنصر همانی را حفظ نکند یک همریختی مونوئیدی نیست، بلکه صرفاً یک همریختی نیمگروهیست.
مثالها
اعداد حقیقی تشکیل یک حلقه میدهند که در آن هم عمل جمع وجود دارد و هم عمل ضرب. مجموعه تمام ماتریسهای
که در آن
هم ضرب را:
به عنوان مثالی دیگر، اعداد مختلط ناصفر را در نظر بگیرید، این اعداد مانند اعداد حقیقی ناصفر تحت عمل ضرب تشکیل یک گروه میدهند (صفر از هردوی این گروهها باید حذف شود چرا که معکوس ضربی ندارد، که از شرایط ضروری گروههاست). تابعی مثل
یعنی
توجه کنید که
به عنوان مثالی دیگر، درون تصویر نمودار همریختی
یک جبر ترکیبیاتی
همریختیهای خاص
انواع همریختیها برای خود نامهای خاصی دارند، که در تعمیمشان به ریختهای نظریه رستهها نیز از همین نامها بهره میبرند.
یکریختی
یک یکریختی بین دو ساختار جبری همسنخ را اغلب به صورت همریختی دوسویه تعریف میکنند.
در بستر عامتر، در نظریه رستهها، یکریختی به صورت ریخت تعریف میشود، ریختی که دارای معکوسیست که خود آن هم ریخت باشد. در مورد ساختارهای جبری خاص، این دو تعریف معادل هستند، اگرچه که ممکن است برای ساختارهای غیر جبری که دارای مجموعه زیرین باشند این دو تعریف متفاوت باشد.
بهطور دقیق تر اگر:
یک (هم) ریخت باشد، دارای معکوس است اگر وجود داشته باشد:
چنانکه:
اگر
برعکس، اگر
و لذا
این اثبات برای ساختارهای غیر جبری کار نمیکند. به عنوان مثال، برای فضاهای توپولوژیکی، ریخت را نگاشت پیوسته میگویند، و معکوس نگاشت پیوسته دو سویه لزوماً پیوسته نیست. یکریختی در فضاهای توپولوژی را همسانریختی یا نگاشت دوپیوسته (نگاشتی که هم خودش و هم معکوسش پیوسته باشند) گویند.
درونریختی
یک درونریختی، همریختی است که دامنه اش برابر با هم دامنهاش باشد، یا بهطور کلی تر ریختی که منبع آن با هدفش برابر باشد.
درونریختیهای یک ساختار جبری، یا شی از یک رسته تحت عمل ترکیب تشکیل مونوئید میدهد.
درونریختیهای یک فضای برداری یا یک مدول تشکیل یک حلقه میدهد. در حالتی که در بستر فضاهای برداری یا مدولهای آزاد متناهی بعد کار میکنیم، انتخاب پایه، یکریختی حلقهای بین حلقه درونریختیها و حلقه ماتریسهای مربعی هم بعد القاء میکند.
خودریختی
یک خودریختی، درونریختی است که علاوه بر درونریختی، یکریختی نیز میباشد.
خودریختیهای یک ساختار جبری یا یک شیء از یک رسته، تحت عمل ترکیب، تشکیل گروه میدهد که به آن گروه خودریختیهای آن ساختار میگوییم.
بسیاری از گروههایی که بر روی آنها نامی قرار داده شده، خود گروه خودریختی از یک ساختار جبری اند. به عنوان مثال، گروه خطی عمومی
گروههای خودریختی میدانها توسط اواریسته گالوا به منظور مطالعه ریشه چند جملهایها معرفی شدند و اکنون پایه نظریه گالوا میباشند.
تکریختی
برای ساختارهای جبری، تکریختیها عمدتاً به صورت همریختیهای یک به یک تعریف میشوند.
در حالت کلی تر، در نظریه رستهها، یک تکریختی به صورت ریختی تعریف میشود که خاصیت چپ حذف شدنی دارد. این بدین معناست که (هم) ریختی
این دو تعریف تکریختی برای همه ساختارهای جبری معمول معادل هستند. به صورت دقیقتر، آنها برای میدانها، که در آن هر همریختی یک تکریختی است، و برای واریتههای جبر جهانی، که ساختارهای جبری هستند که در آن عملها و اصول (اتحادها) بدون هیچ محدودیتی تعریف شدهاند، معادل اند (میدانها واریته نمیسازند، زیرا وارون ضربی یا به صورت عمل یگانی یا به صورت یک ویژگی از ضرب تعریف شدهاست، که در هر دو حالت، تنها برای عناصر غیرصفر تعریف شدهاست).
بخصوص، این دو تعریف همریختی برای مجموعهها، ماگماها، نیمگروهها، مونویدها، گروهها، حلقهها، میدانها، فضاهای برداری و مدولها معادل هستند.
یک تکریختی مجزا یک همریختی است که یک وارون چپ دارد، و از اینرو خودش یک وارون راست برای همریختی دیگری است؛ یعنی، یک همریختی
اپیریختار
در جبر، اپیریختار را به صورت همریختی پوشا تعریف میکنند. از جهت دیگر، در نظریه رستهها، اپیریختارها را به صورت ریختارهای راست قابللغو تعریف میکنند. این یعنی یک (هم) ریختی
یک همریختی پوشا همیشه راست لغوپذیر است، اما برعکس آن همیشه برای ساختارهای جبری درست نیست. با این حال، این دو تعریف اپیریختار برای مجموعهها، فضاهای برداری، گروههای آبلی، مدولها (زیر را برای اثبات ببینید) و گروهها معادل میباشد. اهمیت این دو ساختار در ریاضیات، و مخصوصاً در جبر خطی و جبر هومولوژی میتواند وجود همزمان دو تعریف غیرمعادل را توضیح دهد.
ساختارهای جبری که برای آن اپیریختارهای غیرپوشا وجود دارد شامل نیمگروهها و حلقهها میشود. اصلیترین مثال همان شمول اعداد صحیح در اعداد گویا است، که یک همریختی حلقهها و نیمگروههای ضربی است. برای هر دو ساختار، این یک تکریختی و یک اپیریختار غیرپوشا است ولی یک ایزوریختار نیست.
یک تعمیم گسترده از این مثال محلیسازی یک حلقه توسط یک مجموعه ضربی است. هر محلیسازی یک اپیریختار حلقهای است، که به صورت کلی، پوشا نیست. به این دلیل که محلیسازی در جبر جابجایی و هندسه جبری مبنایی نیست، این موضوع توضیح میدهد که چرا در این زمینهها، تعریف اپیریختارها به صورت هوموریختارهای راست لغوپذیر به صورت معمول ارجحتر است.
یک اپیریختار مجزا یک همریختی است که یک وارون راست دارد، و ازاینرو خودش یک وارون چپ از همریختی دیگر است؛ یعنی، یک همریختی
به صورت خلاصه، این رابطه را داریم
پیامد آخر برای مجموعهها، فضاهای برداری، ماژولها، و گروههای آبلی یک همارزی است؛ پیامد اول برای مجموعهها و فضاهای برداری یک همارزی است.
هسته
هر همریختی
وقتیکه ساختار جبری برای یک عمل یک گروه است، کلاس همارزی
ساختارهای رابطهای
در نظریه مدلها، مفهوم ساختار جبری به ساختارهای شامل هم عمل و هم رابطه تعمیم مییابد. فرض کنید که L یک امضای شامل نمادهای تابع و رابطه باشد و A, B دو L-ساختار باشد. آنوقت یک همریختی از A به B یک نگاشت h از دامنه A به دامنه B است که در آن
- h(F(a1,…,an)) = F(h(a1),…,h(an)) برای هر نماد تابعی n-آریتی F در L،
- R(a1,…,an) پیامد بدهد R(h(a1),…,h(an)) برای هر نماد رابطهای R با آریت n در L.
در حالت خاصی که فقط یک رابطه دودویی دارد، ما به یک مفهوم همریختی گراف میرسیم.
نظریه زبان صوری
از همریختی در مطالعه زبانهای صوری نیز استفاده میشود، و معمولاً به صورت مختصر به آن ریختار گفته میشود. اگر الفباهای
یک همریختی
مجموعه
یادداشتها
- ↑ اغلب، اما نه همیشه، حتی زمانی که دو مجموعه مجهز به دو ساختار متفاوت، و در نتیجه دو عمل متفاوت باشند، عملیات مربوط به هر دو مجموعه مذکور را با یک نماد نمایش میدهند.
- ↑ The ∗ denotes the Kleene star operation, while Σ denotes the set of words formed from the alphabet Σ, including the empty word. Juxtaposition of terms denotes concatenation. For example, h(u) h(v) denotes the concatenation of h(u) with h(v).
- ↑ We are assured that a language homomorphism h maps the empty word ε to the empty word. Since h(ε) = h(εε) = h(ε)h(ε), the number w of characters in h(ε) equals the number 2w of characters in h(ε)h(ε). Hence w = 0 and h(ε) has null length.
ارجاعات
- ↑ «همریختی» [ریاضی] همارزِ «homomorphism»؛ منبع: گروه واژهگزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر سوم. فرهنگ واژههای مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۵۰-۸ (ذیل سرواژهٔ همریختی)
- ↑ Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630
- ↑ Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5. Springer-Verlag. Exercise 4 in section I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.
- ↑ Linderholm, C. E. (1970). A group epimorphism is surjective. The American Mathematical Monthly, 77(2), 176-177.
- ↑ Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Pure and Applied Mathematics. Vol. 235. New York, NY: Marcel Dekker. p. 363. ISBN 0-8247-0481-9. Zbl 0962.16026.
- ↑ For a detailed discussion of relational homomorphisms and isomorphisms see Section 17.3, in Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, شابک ۹۷۸−۰−۵۲۱−۷۶۲۶۸−۷
- ↑ Seymour Ginsburg, Algebraic and automata theoretic properties of formal languages, North-Holland, 1975, شابک ۰−۷۲۰۴−۲۵۰۶−۹,
- ↑ T. Harju, J. Karhumӓki, Morphisms in Handbook of Formal Languages, Volume I, edited by G. Rozenberg, A. Salomaa, Springer, 1997, شابک ۳−۵۴۰−۶۱۴۸۶−۹.
- ↑ (Krieger 2006) p. 287
منابع
- Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
- Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, vol. 5, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90036-5, Zbl 0232.18001
- Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7