زیرگروه نرمال

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می‌گویند) زیرگروهی است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه $N$

از گروهی چون

G

در

G

نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام

g\in G

و

n\in N

نتیجه شود

gng^{-}1\in N

. نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال

N\triangleleft G

است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال $G$

دقیقاً هسته‌های همریختی‌های گروهی با دامنه

G

اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای طبقه‌بندی چنین همریختی‌هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.

تعاریف

یک زیرگروه $N$

از

G

را زیرگروه نرمال از

G

گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از

N

تحت عنصر دلخواهی از

G

همیشه در

N

قرار بگیرد. نمادگذاری این رابطه

N\triangleleft G

است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه $N$

از

G

، شرایط زیر معادل‌اند با این که

N

زیر گروه نرمالی از

G

باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) $N$ تحت هر عنصر $G$ زیرمجموعه‌ای از $N$ باشد.
تصویر تزویجی $N$ تحت هر عنصر $G$ برابر $N$ باشد.
برای تمام $g\in G$ ، همدسته‌های چپ و راست $g N$ و $N g$ برابر باشند.
همدسته‌های چپ و راست $N$ در $G$ با هم یکی شوند.
ضرب یک عنصر از همدسته چپ $N$ نسبت به $g$ و یک عنصر از همدسته چپ $N$ نسبت به $h$ ، عنصری از همدسته چپ $N$ نسبت به $g h$ باشد: یعنی اگر $\forall x,y,g,h\in G$ از $x\in gN$ و $y\in hN$ نتیجه شود که $xy\in (gh)N$ .
$N$ برابر اجتماع رده‌های تزویجی $G$ باشد.
$N$ تحت درون‌ریختی‌های داخلی از $G$ حفظ شود.
همریختی گروهی چون $G\rightarrow H$ وجود دارد چنان که هسته آن $N$ باشد.
برای تمام $n\in N$ و $g\in G$ ، جابجاگر $[n,g]=n^{-1}g^{-1}ng$ در $N$ باشد.
هر دو عنصر گروه $G$ در رابطه زیر صدق کنند:

\forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N

پانویس

↑ Bradley 2010, p. 12.
↑ Cantrell 2000, p. 160.
↑ Dummit & Foote 2004.
↑ Hungerford 2003, p. 41.
↑ Fraleigh 2003, p. 141.

منابع

Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
Thurston, William (1997). Levy, Silvio (ed.). Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

پیوند به بیرون

[FOOTNOTEBradley201012-1] Bradley 2010, p. 12.

[FOOTNOTECantrell2000160-2] Cantrell 2000, p. 160.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-3] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTEHungerford200341-4] Hungerford 2003, p. 41.

[FOOTNOTEFraleigh2003141-5] Fraleigh 2003, p. 141.