فضای تیخونوف

اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
طبقه بندی کولموگوروف
	(کولموگوروف)
	(فرشه)
	(هاسدورف)
	(اوریسون)
کاملاً	(کاملاً هاسدورف)
	(هاسدورف منظم)
	(تیخونوف)
	(هاسدورف نرمال)
	(کاملاً نرمال/هاسدورف)
	(نرمال بی‌نقص/هاسدورف)
	تاریخچه;

در توپولوژی، فضاهای تیخونوف (به انگلیسی: Tychonoff Spaces) و فضاهای کاملاً منظم انواعی از فضاهای توپولوژیکی اند. این شرایط مثال‌هایی از اصول جداسازی می‌باشند.

فضاهای تیخونوف به نام آندری نیکولایویچ تیخونوف نامگذاری شده که نام روسی او Тихонов است که در انگلیسی به صورت‌های "Tychonov" یا "Tikhonov" یا "Tihonov" یا "Tichonov" و … در متون نوشته می‌شود. او کسی بود که این فضاها را در ۱۹۳۰ میلادی به منظور اجتناب از حالت‌های مشکل دار (پاتولوژیکال) فضاهای هاسدورف معرفی کرد، حالت‌هایی که تنها توابع حقیقی مقدار پیوسته آن فضاها، نگاشت‌های ثابت اند.

تعاریف

جداسازی یک نقطه از مجموعه ای بسته از طریق تابعی پیوسته.

فضایی چون $X$

را کاملاً منظم گویند اگر بتوان نقاط آن را با مجموعه‌های بسته و به کمک توابع پیوسته حقیقی مقدار بتوان جداسازی کرد. به بیان دقیق تر یعنی: برای هر مجموعه بسته

A\setminus X

و هر نقطه

x\in X\setminus A

، وجود داشته باشد تابع پیوسته حقیقی-مقداری چون

f\colon X\rightarrow \mathbb {R}

، چنان‌که

f(x)=1

و

f\vert _{A}=0

. (به‌طور معادل، می‌توان تعریف را به گونه ای تغییر داد که تابع

f

به جای ۰ و ۱ هر دو مقدار دیگری را اختیار کند، یا حتی کاری کرد که

X

کراندار باشد)

یک فضای توپولوژی را فضای تیخونوف (یا فضای $T_{3{\frac {1}{2}}}$

یا فضای $T_{\pi }$ یا فضای کاملاً $T_{3}$ ) گویند اگر یک فضای هاسدورف کاملاً منظم باشد.

نکته: فضاهای کاملاً منظم و تیخونوف از طریق مفهوم هم‌ارزی کولموگوروف مرتبط اند. یک فضای توپولوژیکی تیخونوف است اگر هم کاملاً منظم باشد و هم $T_{0}$

(فضای کولموگوروف). از سوی دیگر، یک فضا کاملاً منظم است اگر و تنها اگر خارج قسمت کولموگوروف آن تیخونوف باشد.

پانویس

↑ Narici & Beckenstein 2011, p. 240.

منابع

Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1960). Rings of continuous functions. Graduate Texts in Mathematics, No. 43 (Dover reprint ed.). NY: Springer-Verlag. p. xiii. ISBN 978-0-486-81688-3.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Willard, Stephen (1970). General Topology (Dover reprint ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011240-1] Narici & Beckenstein 2011, p. 240.

اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
طبقه بندی کولموگوروف
$T_{0}$	(کولموگوروف)
$T_{1}$	(فرشه)
$T_{2}$	(هاسدورف)
$T_{2{\frac {1}{2}}}$	(اوریسون)
کاملاً $T_{2}$	(کاملاً هاسدورف)
$T_{3}$	(هاسدورف منظم)
$T_{3{\frac {1}{2}}}$	(تیخونوف)
$T_{4}$	(هاسدورف نرمال)
$T_{5}$	(کاملاً نرمال/هاسدورف)
$T_{6}$	(نرمال بی‌نقص/هاسدورف)
تاریخچه