توزیع نرمال

توزیع نرمال
	تابع چگالی احتمال منحنی قرمز توزیع نرمال استاندارد است.
	تابع توزیع تجمعی
نماد
پارامترها	= میانگین (مکان); = واریانس (مقیاس بتوان دو)
تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
چندک
میانگین
میانه
مُد
واریانس
انحراف مطلق میانگین
چولگی
کشیدگی
آنتروپی
تابع مولد گشتاور
تابع مشخصه
اطلاع فیشر
معیار واگرایی کولبک-لیبلر

توزیع نُرمال (به انگلیسی: Normal distribution) یا توزیع بهنجار یا توزیع گاوسی (به انگلیسی: Gaussian) (که به ندرت، توزیع طبیعی نیز گفته می‌شود)، یکی از مهم‌ترین توزیع‌های احتمال پیوسته در نظریه احتمالات است. علت نام‌گذاری و نیز اهمیت این توزیع این است که اُفت‌وخیز بسیاری از کمیّت‌های طبیعی (فیزیکی) حول یک مقدار ثابت، از این توزیع پیروی می‌کند. دلیل اصلی این موضوع، قضیهٔ حد مرکزی است.

به زبان ساده، در قضیهٔ حد مرکزی نشان داده می‌شود که مجموع متغیرهای تصادفی مستقل (independent)، که هرکدام میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. برای مثال، با اینکه عوامل زیادی بر خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر می‌گذارند (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و …) اما در اندازه‌گیری‌های متعدد، خطای اندازه‌گیری همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده‌است. مثال‌های دیگری از این کمیت‌های طبیعی، قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.

این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ کارل فردریش گاوس از آن در کارهای خود با نام توزیع گاوسی نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل تابع چگالی احتمال این توزیع، با نام توزیع زنگوله‌ای (زنگ‌دیس) نیز معروف است.

تابع چگالی احتمال این توزیع دو پارامتر دارد که یکی تعیین کنندهٔ میانگین ( $\mu$

) و دیگری تعیین کنندهٔ واریانس ( $\sigma$ ) توزیع هستند. منحنی تابع چگالی احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر $\mu =0$ و $\sigma =1$ باشد توزیع، نرمال استاندارد نامیده می‌شود.

مشخصات

خصوصیاتی که معمولاً برای توصیف یک توزیع احتمال به کار می‌روند، عبارتند از تابع توزیع (یا چگالی) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور. در جدول سمت چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آورده شده‌اند. در ادامه، جزئیات بیشتری دربارهٔ این خصوصیات ذکر می‌شود.

تابع چگالی احتمال

تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای $\mu$

و $\sigma ^{2}$ به صورت زیر است:

f(x;\,\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-(x-\mu )^{2}\!/(2\sigma ^{2})},\qquad x\in \mathbb {R} .

تابع $f(x)$ تابعی متقارن حول $x=\mu$ است؛ همچنین این نقطه میانگین، مد و میانهٔ توزیع است.
نقاط عطف این منحنی، $x=\mu -\sigma$ و $x=\mu +\sigma$ است.
این تابع بینهایت بار مشتق پذیر است.

گشتاورها

گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی $E[|X|^{p}]$

برای هر $p$ که Re[p]> −۱ وجود دارد.

$\mathrm {E} {\big [}(X-\mu )^{p}{\big ]}={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}\,(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}$

در اینجا !!n نشان دهنده فاکتوریل دوبل است.

(تمام گشتاورهای مرکزی مرتبه فرد صفرند.)

$\operatorname {E} {\big [}|X-\mu |^{p}{\big ]}=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {2/\pi }}&{\text{if }}p{\text{ is odd}},\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}.\end{cases}}$

ترکیبات خطی

اگر $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,\!$

و a,b هر دو از اعداد حقیقی باشند، آنگاه

aX+b\sim N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})\,\!

اگر

X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})

و

Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})

متغیرهای تصادفی نرمال مستقل باشند آنگاه:

مجموع آنها دارای توزیع نرمال است: $U=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ .
اختلاف آنها نیز دارای توزیع نرمال است: $V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ .
اگر واریانس $X$ و $Y$ یکی باشد، آنگاه $U$ و $V$ از هم مستقل هستند.

خصوصیات

قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره به‌طور توأم، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند. در توزیع نرمال، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است.

تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقريبا 99/7 % كل اعداد نيز در فاصله كمتر از سه برابر انحراف معيار توزيع نسبت به ميانگين توزيع قرار مي گيرند.

محاسبهٔ احتمال متغیرهای نرمال غیر استاندارد

اگر X یک توزیع نرمال نااستاندارد با انحراف معیار σ و امید ریاضی μ باشد، می‌توان ثابت کرد تبدیل زیر از X یک توزیع نرمال استاندارد می‌سازد:

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

مثال

$X\sim N(2,9)$

$P(X<3)=?$

جواب به این صورت محاسبه‌پذیر است:

$P(X<3)=P({\frac {X-\mu }{\sigma }}<{\frac {3-2}{3}})\approx P(Z<0.33)=0.6293$

(مقدار ‎ $P(Z<0.33)$

‎ از روی جداول چگالی توزیع نرمال استاندارد یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بینهایت تا ۰٫۳۳ بدست می‌آید.)

منابع

↑ «توزیع بهنجار دومتغیره، توزیع نرمال دومتغیره» [آمار، ریاضی] هم‌ارزِ «bivariate normal distribution»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر چهارم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۵۹-۱ (ذیل سرواژهٔ توزیع بهنجار دومتغیره)
↑ (Casella و Berger 2001، ص. 102)
↑ Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
↑ بهبودیان، جواد. «چند توزیع مهم و ارتباط آن‌ها با هم». آمار و احتمال مقدماتی. محاسبه احتمال برای متغیرهای غیر استاندارد: دانشگاه امام رضا (ع)-مشهد. ص. ۲۰۴. شابک ۹۶۴-۶۵۸۲-۰۲-۸.

ویکی‌پدیای انگلیسی

[1] «توزیع بهنجار دومتغیره، توزیع نرمال دومتغیره» [آمار، ریاضی] هم‌ارزِ «bivariate normal distribution»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر چهارم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۵۹-۱ (ذیل سرواژهٔ توزیع بهنجار دومتغیره)

[2] (Casella و Berger 2001، ص. 102)

[3] Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology

[4] بهبودیان، جواد. «چند توزیع مهم و ارتباط آن‌ها با هم». آمار و احتمال مقدماتی. محاسبه احتمال برای متغیرهای غیر استاندارد: دانشگاه امام رضا (ع)-مشهد. ص. ۲۰۴. شابک ۹۶۴-۶۵۸۲-۰۲-۸.

تابع چگالی احتمال منحنی قرمز توزیع نرمال استاندارد است.
تابع توزیع تجمعی
نماد	${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$
پارامترها	$\mu \in \mathbb {R}$ = میانگین (مکان) $\sigma ^{2}>0$ = واریانس (مقیاس بتوان دو)
تکیه‌گاه	$x\in \mathbb {R}$
تابع چگالی احتمال	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$
تابع توزیع تجمعی	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$
چندک	$\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)$
میانگین	$\mu$
میانه	$\mu$
مُد	$\mu$
واریانس	$\sigma ^{2}$
انحراف مطلق میانگین	$\sigma {\sqrt {2/\pi }}$
چولگی	$0$
کشیدگی	$0$
آنتروپی	${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\sigma ^{2})$
تابع مولد گشتاور	$\exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)$
تابع مشخصه	$\exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)$
اطلاع فیشر	${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$ ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$
معیار واگرایی کولبک-لیبلر	${1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+2\ln {\sigma _{1} \over \sigma _{0}}\right\}$