متغیر تصادفی

در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «ورتنده کاتوره ای» اصطلاح‌های «ورتندهشانسی» و «ورتندهاستوکاستیکی» هم به کار رفته‌است.

• ورتنده کاتوره ای گسسته

انواع ورتنده کاتوره ای گسسته: ۱. برنولی ۲. دو جمله‌ای ۳. دو جمله‌ای منفی ۴. پواسون ۵. هندسی ۶. فوق هندسی ۷. زتا

• ورتنده کاتوره ای پیوسته

انواع ورتنده کاتوره ای پیوسته:۱. تکنواخت ۲. نمایی ۳. نرمال ۴. گاما ۵. بتا ۶. کشی 7. t استیودنت

با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، ورتندهمی‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد ورتنده کاتوره ای X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.

یک توزیع همچنین می‌تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.

/* انواع */ ورتنده کاتوره ای گسسته: { برنولی، دوجمله‌ای، پوآسن، هندسی، دو جمله‌ای منفی، فوق هندسی، زتا (زیپ اف) } ورتنده کاتوره ای پیوسته: { یکنواخت، نرمال، نمایی، گاما، وایبل، کُشـِی، بتا، tاستیودِنت، خِی۲(کای اسکُوِر) , f(فیشر) }

متغیرهای کاتوره ای گسسته:

ورتنده کاتوره ای برنولی: یک برد وباخت ساده است؛ که مربوط به یک آزمایش برد و باخت ساده است و فقط مقادیر ۰٬۱ را می‌پذیرد. احتمال موفقیت را با p و احتمال شکست را با q نشان می‌دهند. مثال: در یک سکهٔ سالم احتمال ظاهر شدن شیر ۲برار احتمال ظاهر شدن خط است اگر xتعداد شیرهای ظاهر شده در یکبار پرتاب سکه باشد جدول احتمال xرا تشکیل دهید.

ورتنده کاتوره ای دوجمله ای: از تکرار آزمایش برنولی تعداد nبار ورتنده کاتوره ای دو جمله‌ای حاصل می‌شود. مثال:یک سکه سالم ۳بار پرتاب می‌شود (یا ۳سکه پرتاب می‌شود) اگر xتعداد شیرهای ظاهر شده باشد مجموع مقادیر x عبارت است از: {۰٬۱٬۲٬۳}=(p(x

ورتنده کاتوره ای هندسی (ورتندههندسی): اگر یک آزمایش برنولی آنقدر تکرار شود تا اولین موفقیت ظاهر شود تعداد دفعات تکرار آزمایش را ورتنده کاتوره ای است که ورتنده کاتوره ای هندسی نامیده می‌شود. مثال:یک سکه سالم آنقدر پرتاب می‌شود تا اولین شیر ظاهر شود احتمال آزمایش پس از ۱۰دفعه پرتاب تا زمانی که متوقف شود.

ورتنده کاتوره ای دو جمله‌ای منفی: اگر یک آزمایش برنولی آنقدر تکرار شود تا kاُمین موفقیت ظاهر شود آنگاه تعداد دفعات تکرار آزمایش یک ورتنده کاتوره ای است، که ورتنده کاتوره ای دوجمله‌ای منفی نامیده می‌شود. مثال:یک سکهٔ سالم آنقدر پرتاب می‌شود که (سومین) شیر ظاهر شود، احتمال متوقف شدن آزمایش در پرتاب هشتم.

ورتنده کاتوره ای فوق هندسی: اگر در جامعه‌ای به حجم K ,N نفر دارای یک ویژگی بخصوص باشند و از این جامعه یک نمونه به حجم n انتخاب کنیم در صورتی که تعداد اعضای نمونه که دارای آن ویژگی هستند را با x نشان دهیم آنگاه x یک ورتنده کاتوره ای است که ورتنده کاتوره ای فوق هندسی نامیده می‌شود. مثال: ۲۵٪ پنالتی‌های یک بازیکن بسکتبال وارد سبد نمی‌شود احتمال اولین پنالتی داخل سبد پس از ۶پرتاب.

ورتنده کاتوره ای پواسون: تعداد آزمایش‌های کاتوره ای که در یک محدوده مشخص رخ می‌دهد ورتنده کاتوره ای پواسون نامیده می‌شود. مثال: تعداد پست‌های خالی که (در طول یک سال) در دیوان عالی ایجاد می‌شود.

نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }=${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$

اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر ${\displaystyle 0.5}$

برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می‌توان از ورتنده کاتوره ای استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}=${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$

و pmf این ورتندهبه صورت زیر خواهد بود.

به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می‌تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می‌توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و … نشان دهیم اما متداول‌تر است که جهات را به اعداد حقیقی نسبت دهیم. برای این کار فرض می‌کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه‌ای که با سمت شمال می‌سازد توصیف کنیم در این صورت ورتنده کاتوره ای می‌تواند مقادیر بازه (۰٬۳۶۰] را بگیرد. در این حالت اگر X را به عنوان ورتنده کاتوره ای برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰٬۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰٫۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می‌کنیم و می‌گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه‌ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.

یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰٫۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می‌توان حساب کرد (چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).

تابع توزیع تجمعی ورتنده کاتوره ای X به شکل زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x)}$

به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می‌دهد. برخی از خواص این تابع در زیر آمده‌است.

۱-تابع ${\displaystyle F_X(x)}$

۲- ${\displaystyle F_X(\mathrm{\infty })=1}$

۳- ${\displaystyle F_X(-\mathrm{\infty })=0}$

اگر X یک ورتنده کاتوره ای روی ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$

${\displaystyle F_Y(y)=\mathrm{P}(g(X)\le y).}$

اگر g معکوس پذیر باشد یعنی g وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می‌توان به رابطه زیر رسید.

${\displaystyle F_Y(y)=\mathrm{P}(g(X)\le y)=\mathrm{P}(X\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))}$

با فرض معکوس‌پذیری و مشتق‌پذیری می‌توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه‌ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است.

${\displaystyle f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d{g}^{-1}(y)}{dy}\right|}$

اکر رابطه معگوس‌پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه‌های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای (y = g(x_i داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می‌آید.

${\displaystyle f_Y(y)=\sum _i{f}_X(g_i^{-1}(y))\left|\frac{d{g}_i^{-1}(y)}{dy}\right|}$

که (x_i = g_i(y.

مثال۱

فرض کنید که X یک ورتنده کاتوره ای پیوسته و حقیقی مقدار باشد و Y = X.

${\displaystyle F_Y(y)=\mathrm{P}(X^2\le y).}$

اگر y <۰ آنگاه P(X ≤ y) = ۰، پس

اگر y ≥ ۰ آنگاه:

${\displaystyle \mathrm{P}(X^2\le y)=\mathrm{P}(|X|\le \sqrt{y})=\mathrm{P}(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}),}$

پس

${\displaystyle F_Y(y)=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})\text{if}y\ge 0.}$

مثال ۲

فرض کنید X یک ورتنده کاتوره ای با CDF زیر باشد که ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F_X(x)=P(X\le x)=\frac{1}{(1+e^{-x}{)}^{\theta }}}$

و تابع y با ضابطه ${\displaystyle Y=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+e^{-X}).}$

داریم:

${\displaystyle F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+e^{-X})\le y)=P(X>-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^y-1)).}$

عبارت بالا برحسب تابع توزیع تجمعی X قابل محاسبه است بنابراین

${\displaystyle F_Y(y)=1-F_X(-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^y-1))}$

${\displaystyle =1-\frac{1}{(1+e^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^y-1)}{)}^{\theta }}}$

${\displaystyle =1-\frac{1}{(1+e^y-1{)}^{\theta }}}$

${\displaystyle =1-e^{-y\theta }.}$

(منظور از log لگاریتم طبیعی (Ln) است)

تعابیر مختلفی برای تساوی دو ورتنده کاتوره ای وجود دارد. دو ورتندهمی‌توانند مساوی باشند یا در توزیع مساوی باشند (equal in distribution) یا تقریباً همه جا برابر (almost surely equality) باشند.

تساوی در توزیع

اگر دو تابع X و Y تابع توزیع یکسانی داشته باشند می‌گوییم در توزیع مساوی هستند

${\displaystyle \mathrm{P}(X\le x)=\mathrm{P}(Y\le x)\text{for all}x.}$

دو توزیع که تابع مولد گشتاور یکسانی دارند در توزیع مساوی هستند.

تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر

این تساوی در صورتی برقرار است که احتمال تفاوت X و Y صفر باشد.

${\displaystyle \mathrm{P}(X\ne Y)=0.}$

تساوی

دو ورتنده کاتوره ای X و Y مساوی هستند اگر به عنوان تابع روی فضای نمونه یکسان باشند

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\text{for all }\omega .}$

• توزیع احتمال

• فروند، جان. آمار ریاضی؛ ترجمه علی حمیدی، محمدقاسم وحیدی‌اصل. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۸. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۹۱۶-۹

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Random_variable&oldid=437209168

Sheldon Ross ,Introduction to Probability Models Tenth Edition page 25