تابع پیوسته

تعریف اپسیلون-دلتا از پیوستگی اولین بار توسط برنارد بولزانو در ۱۸۱۷ داده شد. آگوستین لویی کوشی پیوستگی ${\displaystyle y=f(x)}$

تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a)  باشد. در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته‌ است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.

تعریف ریاضی پیوستگی

تابع f در نقطه x=a پیوسته گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:

1. (f(a موجود و متناهی باشد یعنی تابع در نقطه a تعریف شده باشد.
2. حد تابع در a موجود باشد یعنی حد راست و چپ در این نقطه موجود و برابر باشد.
3. حد تابع برابر مقدار تابع باشد.

تعریف

یک تابع حقیقی، که تابعی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است را می توان با نموداری در صفحه کارتزین نمایش داد؛ به طور نادقیق می توان گفت که چنین تابعی پیوسته است اگر نمودار آن منحنی باشد که در آن پاره شدگی و شکاف نبوده و دامنه آن کل اعداد حقیقی باشد. در ادمه تعریف دقیق تر ریاضیاتی ارائه خواهد شد.

تعریف دقیق پیوستگی برای توابع حقیقی اغلب در اولی درس حسابان (حساب دیفرانسیل و انتگرال) بر اساس مفهوم حد ارائه می شود. ابتدا، یک تابع چون ${\displaystyle f}$

تعریف هاینه

تابع حقیقی ${\displaystyle f}$

یکی دیگر از مفاهیم مجرد، مفهوم پیوستگی توابع بین فضاهای توپولوژیکی است که در آن عموماً به طور صوری مفهوم فاصله نقاط (همچون فضاهای متری) تعریف نشده است. یک فضای توپولوژیکی، مجموعه ای چون ${\displaystyle X}$

تابعی چون ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X|f(x)\in V\}}$

زیرمجموعه بازی از ${\displaystyle X}$

به طور معادل می توان گفت که تصویر عکس هر مجموعه بسته (که متمم مجموعه های باز اند) از ${\displaystyle Y}$

مثلاً اگر ${\displaystyle X}$