مشبکه (ترتیب)

اگر ${\displaystyle \left(\ge ,L\right)}$

یک مجموعه مرتب جزئی ${\displaystyle \left(\ge ,L\right)}$

با استدلال استقرایی ثابت می‌شود که هر زیر مجموعه ناتهی متناهی مشبکه دارای یک سوپریمم و اینفیمم است. با فرض های اضافی، نتیجه‌های بیشتری ممکن است به دست آید. برای ادامه این بحث، مقاله کامل‌بودن را در نظریه ترتیب ببینید. در آن مقاله این که چگونه می توان تعریف بالا را بر اساس وجود الصاق های گالوایی مناسب بین مجموعه های جزئی مرتب مربوط بازنویسی نمود، مورد بحث قرار گرفته است. رهیافت مذکور برای رهیافت نظریه رسته‌ای به مشبکه ها و همچنین برای تحلیل مفهوم صوری مناسب است.

یک مشبکه کراندار، مشبکه‌ای است که دارای بزرگترین عضو (که به آن ماکسیمم یا عنصر بالا هم گفته شده و آن را با ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in L0\le x\le 1}$

هر مشبکه را می توان در یک مشبکه کراندار با اضافه کردن عناصر جدیدی به عنوان ماکسیمم و مینیمم نشاند، و هر مشبکه متناهی ناتهی کراندار است. چرا که برای یک مشبکه متناهی می توان جوین و میت تمام عناصر را به ترتیب به صورت ${\displaystyle \bigvee L=a_1\vee \cdots \vee a_n}$

یک مجموعه جزئی مشبکه کراندار است اگر و تنها اگر هر زیر مجموعه متناهی از عناصرش دارای جوین و میت باشد. برای هر عنصر ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \bigvee \left(A\cup B\right)=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee B\right)}$

و

${\displaystyle \bigwedge \left(A\cup B\right)=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge B\right)}$

حال اگر در اتحادهای بالا ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \bigvee \left(A\cup \mathrm{\varnothing }\right)=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee \mathrm{\varnothing }\right)=\left(\bigvee A\right)\vee 0=\bigvee A}$

و

${\displaystyle \bigwedge \left(A\cup \mathrm{\varnothing }\right)=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge \mathrm{\varnothing }\right)=\left(\bigwedge A\right)\wedge 1=\bigwedge A}$

که با این حقیقت که ${\displaystyle A\cup \mathrm{\varnothing }=A}$

گویند که یک عنصر دلخواهی از مشبکه چون ${\displaystyle y}$

گویند مشبکه ${\displaystyle \left(L,\le \right)}$

برای زیرمجموعه دلخواهی از یک مشبکه چون ${\displaystyle H\subseteq L}$

مشبکه عمومی

مشبکه یک ساختار جبری ${\displaystyle }$

${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a}$

${\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}$

دو اتحاد زیر که از قوانین جذب نتیجه می شوند نیز در برخی منابع به عنوان اصول موضوعه چنین مشبکه هایی قید می شوند. به این اتحادها قوانین خودتوانی می گویند:

${\displaystyle a\vee a=a}$

${\displaystyle a\wedge a=a}$

این اصول موضوعه ها بیان می دارند که ${\displaystyle (L,\vee )}$

یک مفهوم مناسب از ریخت (شکل) بین دو مشبکه به آسانی از تعریف جبری بالا بر می‌آید. دو مشبکه (L, ∨L, ∧L) و (M, ∨M, ∧M) در نظر بگیرید. یک مشبکه هم ریخت از Lبه M به صورت تابع f: L است که M شامل همهٔ a,bهایی عضو L است. f(a∨Lb) = f(a) ∨M f(b), and f(a∧Lb) = f(a) ∧M f(b). بنابراین f یک هم‌ریخت از دو شبه مشبکه است. هم چنین وقتی که مشبکه‌هایی با ساختارهای بیشتری در نظر گرفته شوند، ریخت‌ها بایستی به بیشترین ساختار نسبت داشته باشند. به ویژه در یک مشبکه هم ریخت محدود (که معمولاً همان «مشبکه همریخت» گفته می‌شود) تابع f بین دو مشبکه کران دار L و M ویژگی زیر را داراست: f(0L) = 0M f(1L) = 1M

طبق ترتیب فرمول بندی نظری این شرایط تنها بیان می‌کند که مشبکه‌ها تابعیست که تلاقی و اتصال‌های دودویی را حفظ می‌کند. برای مشبکه‌های کران دار حفظ کردن کوچکترین و بزرگترین عنصر در واقع همان حفظ تلاقی و اتصال یک مجموعه خالی است. هر هم ریختی مشبکه‌ها الزاماٌ یک رابطه ترتیبی یکنوا است. اما برعکس این مطلب درست نیست. اگرچه ترتیب دو طرفه حفظ شونده یک هم ریخت است اگر وارون ان هم یک ترتیب حفظ شونده باشد.

یک مشبکه یک ریخت در واقع یک مشبکه هم ریخت دو طرفه است. متشابها یک مشبکه درون ریخت یک مشبکه هم ریخت است از یک مشبکه درون خودش. هم چنین یک مشبکه خود ریخت یک مشبکه دو طرفه درون ریخت است. در واقع مشبکه‌ها و هم ریخت‌های آن‌ها یک دسته را تشکیل می‌دهند.

یک زیرمشبکه از مشبکه L یک مجموعه غیر تهی است ازL که در واقع مشبکه ایست با تلاقی و اتصال‌هایی مشابه L یک زیرمشبکه M از یک مشبکه L یک زیر مشبکه برجسته L است اگرx ≤ z ≤ y و x,yموجود در M نشان می‌دهد که zمتعلق به M است برای هر x,y،zعضوL.

در زیر تعدادی از ویژگی‌های مهم یک مشبکه مطرح شده است:

تمامیت (کمال)

یک مجموعه مرتب جزئی مشبکه کامل نامیده می‌شود اگر همهٔ زیر مجموعه‌هایش هر دوی اتصال و تلاقی را دارا باشند. به ویژه هر مشبکه کامل یک مشبکه کران دار است. در حالیکه مشبکه‌های کران دار هم ریخت در کل فقط اتصال و تلاقی ::متناهی را حفظ می‌کنند مشبکه‌های کامل هم ریخت می‌بایستی ::اتصال و ::تلاقی دلخواه را حفظ کنند. هر مجموعه مرتب جزئی که یک زیر مشبکه کامل است یک مشبکه کامل نیز می‌باشد. شایان ذکر است که مشبکه جزئی در تضاد با مشبکه کامل نیست زیرا کلیهٔ مفهوم‌های مشبکه و مشبکه کامل و مشبکه جزئی تعاریفی محدود هستند.

تکامل شرطی

یک مشبکه کامل مشروط مشبکه ایست که هر زیرمجموعه ناتهی که کران بالا دارد یک نقطه اتصال دارد (منظور از کران بالا کوچکترین کران بالا است)

توزیع‌پذیری

هنگامیکه مشبکه‌ها در عملیات دودویی قرار گیرند این رایج است که سؤال شود کدام یک بر دیگری توزیع پذیر است. توزیع‌پذیری عطف و فصل: a∨(b∧c) = (a∨b) ∧ (a∨c). a∧(b∨c) = (a∧b) ∨ (a∧c).

پیمانه‌ای

برای بسیاری از عملیات خاصیت توزیع‌پذیری سنگین بوده و خاصیت پیمانه‌ای به جای ان قرار می‌گیرد. ماهیت پیمانه‌ای بودن: (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = [(a ∧ c) ∨ b] ∧ c

قانون پیمانه‌ای

اگر a<=c: a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c

هر مجموعهٔ X برای تولید زیر مشبکه‌های آزاد FX مورد استفاده قرار می‌گیرد. یک زیر مشبکه آزاد شامل تمامی زیر مجموعه‌های متناهی X است.

1. ↑ a ∨ a = a ∨ (a ∧ (a ∨ a)) = a, and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), "Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler", Braunschweiger Festschrift: 1–40.

تک نویس های آزاد آنلاین:

متون مقدماتی برای کسانی که به بلوغ ریاضیاتی نرسیده اند:

متون استاندارد معاصر که کمی از منابع بالا سخت ترند:

تک نویس های پیشرفته:

در ارتباط با مشبکه های آزاد:

در ارتباط با تاریخچه نظریه مشبکه ها:

در مورد کاربرد های نظریه مشبکه ها: