فضای خارج‌قسمتی (جبر خطی)

به صورت صوری، ساختار به این صورت است. فرض کنید که V یک فضای برداری روی یک میدان K باشد، و فرض کنید که N یک زیرفضا از V باشد. ما یک رابطه هم‌ارزی ~ روی V را به این شیوه تعریف می‌کنیم که x ~ y اگر x − y ∈ N باشد؛ یعنی، x با y مرتبط است اگر با اضافه‌کردن یک عنصر N یکی از دیگری قابل دستیابی باشد. از این تعریف، می‌توان استنتاج کرد که هر عنصر N با بردار صفر مرتبط است؛ به صورت دقیق‌تر، همه بردارها در N به کلاس هم‌ارزی بردار صفر نگاشت می‌یابند.

کلاس هم‌ارزی - با در این حالت، هم‌دسته - از x معمولاً به این صورت نمایش می‌یابد

[x] = x + N

زیرا توسط زیر داده شده‌است

[x] = {x + n: n ∈ N}.

فضای خارج‌قسمتی V/N به صورت V/~ تعریف می‌شود، که مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی القا شده توسط ~ روی V است. ضرب و جمع نرده‌ای روی کلاس‌های هم‌ارزی توسط زیر تعریف شده‌است

• α[x] = [αx] برای همه α ∈ K، و
• [x] + [y] = [x + y].

بررسی خوش‌تعریف بودن این عملیات‌ها سخت نیست (یعنی آن‌ها به گزینه نماینده وابسته نیستند). این عملیات‌ها فضای خارج‌قسمتی V/N را به یک فضای برداری روی K با N برابر با کلاس صفر [0] تبدیل می‌کنند.

نگاشتی که به v ∈ V کلاس هم‌ارزی [v] را منتسب می‌کند، نگاشت خارج‌قسمتی نامیده می‌شود.

به زبان دیگر، فضای خارج‌قسمتی ${\displaystyle V/N}$

فرض کنید X = R همان صفحه دکارتی استاندارد باشد، و فرض کنید Y یک خط گذرنده از مبدأ X باشد. آنوقت فضای خارج‌قسمتی X/Y را می‌توان توسط همه خطوط در X که با Y موازی اند شناسایی کرد؛ یعنی عناصر مجموعه X/Y برابر خطوطی در X هستند که با Y موازی اند. توجه کنید که خطوط همراستا با چنین خطی رابطه هم‌ارزی را برآورده خواهد کرد، زیرا بردارهای تفاضلی آن‌ها به Y تعلق دارند. این موضوع راهی برای نمایش هندسی فضاهای خارج‌قسمتی فراهم می‌کند. (با پیش-پارامتردهی این خطوط، فضای خارج‌قسمتی را به صورت سنتی‌تر به صورت فضای همه نقاط در امتداد یک خط گذرنده از مبدأ نمایش داد که با Y موازی نیست. به صورت مشابه، فضای خارج‌قسمتی برای R توسط یک خط گذرنده از مبدأ را دوباره می‌توان به صورت مجموعه همه خطوط هم-موازی نمایش داد، یا از جهت دیگر، به صورت فضای برداری شامل صفحه‌ای نمایش داد که با خط در مبدأ تلاقی دارد)

مثال دیگر، خارج‌قسمت R توسط زیرفضای گسترده‌شده توسط اولین m بردار مبنایی استاندارد است. فضای R شامل همه n-تاپل‌ها از عدد حقیقی (x₁, … , x_n) است. زیرفضایی که توسط R شناسایی می‌شود، شامل همه n-تاپل‌هایی است که n − m ورودی آخرش صفر است: (x₁, … , x_m, 0, 0, … , ۰). دو بردار R در یک کلاس هم‌ارزی مشابه به پیمانه زیرفضا هستند، اگر و تنها اگر در n − m آخرشان مشابه باشند. به روش بدیهی، فضای خارج‌قسمتی R/R با R ایزوریختار است.

به صورت کلی‌تر، اگر V یک جمع مستقیم (درونی) از زیرفضاهای U و W باشد

${\displaystyle V=U\oplus W}$

آنوقت فضای خارج‌قسمتی V/U با W طبیعی ایزوریختار است.

یک مثال مهم از یک فضای خارج‌قسمتی تابعی یک L فضا است.

یک اپی‌ریختار طبیعی از V به فضای خارج‌قسمتی V/U وجود دارد که توسط ارسال x به کلاس هم‌ارزی‌اش [x] به دست می‌آید. هسته (یا فضای پوچ) از این اپی‌ریختار برابر زیرفضای U است. این رابطه به صورت طبیعی توسط دنباله دقیق کوتاه زیر خلاصه‌بندی می‌شود

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.}$

اگر U یک زیرفضای V باشد، بعد V/U هم‌بعد برای U در V نامیده می‌شود. به‌این دلیل که پایه V را می‌توان از یک پایه A از U و یک پایه B از V/U توسط جمع یک نماینده از هر عنصر B به A ساخت، بعد V برابر جمع ابعاد U و V/U است. اگر V متناهی-بعد باشد، این به این معنی است که هم‌بعد U در V برابر تفاضل بین ابعاد V و U است:

${\displaystyle \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(U)=\dim (V/U)=\dim (V)-\dim (U).}$

فرض کنید که T: V → W یک عملگر خطی باشد. هسته T، که توسط ker(T) نشان داده می‌شود، برابر مجموعه همه xها در V است که در آن Tx = ۰ است. هسته یک زیرفضای V است. قضیه اول ایزوریختار برای فضاهای برداری بیان می‌کند که فضای خارج‌قسمتی V/ker(T) با تصویر V در W ایزوریختار است. یک نتیجه سریع، برای فضاهای متناهی-بعد، همان قضیه رتبه-پوچی است: بعد V برابر بعد هسته (با پوچی T) بعلاوه بعد تصویر (رتبه T) است.

هم‌هسته یک عملگر خطی T: V → W را به صورت فضای خارج‌قسمتی W/im(T) تعریف می‌کنند.

اگر X یک فضای باناخ باشد و M یک زیرفضای بسته از X باشد، آنوقت خارج‌قسمت X/M باز هم یک فضای باناخ است. به فضای خارج‌قسمتی قبلاً یک ساختار فضای برداری، توسط ساختار بخش قبل، داده شده‌است. ما یک نرم روی X/M به این شیوه تعریف می‌کنیم

${\displaystyle \Vert [x]{\Vert }_{X/M}=\underset{m\in M}{inf}\Vert x-m{\Vert }_X=\underset{m\in M}{inf}\Vert x+m{\Vert }_X=\underset{y\in [x]}{inf}\Vert y{\Vert }_X.}$

وقتیکه X کامل باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی X/M هم در رابطه با نرم کامل است، و از این‌رو یک فضای باناخ است.

مثال‌ها

فرض کنید C[0,1] فضای باناخ برای توابع حقیقی-مقدار پیوسته روی بازه [0٬1] با نرم سوپ باشد. زیرفضای همه توابع f ∈ C[0,1] با f(0) = ۰ را توسط M نشان بدهید. آنوقت کلاس هم‌ارزی یک تابع g توسط مقدارش در 0 تعیین می‌شود، و فضای خارج‌قسمتی C[0,1]/M با R ایزوریختار است.

اگر X یک فضای هیلبرت باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی X/M با مکمل متعامد M ایزوریختار است.

تعمیم به فضاهای محلی محدب

خارج‌قسمت یک فضای محلی محدب توسط یک زیرفضای بسته باز هم محلی محدب است. در واقع، فرض کنید که X به صورت محلی محدب باشد، از این رو توپولوژی روی X توسط خانواده‌ای از زیرنرم‌های {p_α | α ∈ A} تولید می‌شود، که در آن A برابر مجموعه اندیس است. فرض کنید که M یک زیرفضای بسته باشد، و نیم‌نرم‌های q_α را روی X/M توسط زیر تعریف کنیم

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\underset{v\in [x]}{inf}{p}_{\alpha }(v).}$

آنوقت X/M یک فضای محلی محدب است، و توپولوژی روی آن یک توپولوژی خارج‌قسمتی است.

بعلاوه، اگر X مترپذیر باشد، آنوقت X/M هم هست. اگر X یک فضای فرچت باشد، آنوقت X/M هم هست.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Quotient space (linear algebra)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲.