چهار نیرو

بردار نیرو در فیزیک کلاسیک در سه بعد (x, y, z) نمایش داده می‌شود، که معادل همان مشتق تکانه سه بعدی بر حسب زمان است:

${\displaystyle \mathbf{f}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}}$

بردار چهار نیرو در نظریه نسبیت خاص چهار بعدی است (چرا که در سرعت‌های نسبیتی زمان هم یک بعد از فضا محسوب می‌شود.) و معادل نرخ تغییر (مشتق) چهار تکانه بر حسب زمان ذره است:

${\displaystyle F^{\mu }=\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }}$

(در نظریه نسبیت حرف یونانی μ مشخصه چهار بعد است.)

زمانی که ذره‌ای با سرعت بالا حرکت کند (در واقع سرعت هایی نزدیک به سرعت نور) زمان ذره (که با ${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle c^{2}d{\tau }^2=c^{2}d{t}^2-d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}}$
• ${\displaystyle d\tau =dt{\gamma }^{-1}}$
• ${\displaystyle \gamma \ge 1}$

برای ذره‌ای با جرم ثابت و ناوردای ${\displaystyle m>0}$

(نکته: اخیراً در کشورهای انگلیسی زبان از حروف بزرگ برای چهار بردار و حروف کوچک برای سه بردار استفاده می‌شود بجای علائم یونانی، البته باید به این نکته هم توجه کرد که این روش مخصوص فیزیکدانان حرفه ای است و در آماتورها ممکن است موجب سردرگمی شود.)

با توجه به معادلات بالا برای بردار چهار نیرو داریم: ${\displaystyle \mathbf{F}=m\frac{d\mathbf{U}}{d\tau }=m\mathbf{A}}$

• ${\displaystyle \mathbf{F}=m\mathbf{A}=\gamma (\frac{\mathbf{f}\cdot \mathbf{u}}{c},\mathbf{f}\mathbf{)}}$

(نکته: در سرعت‌های کم این معادله به صورت اتوماتیک به قانون دوم نیوتن تبدیل می‌شود.)

در معادله چهار نیرو دو بخش مجزا وجود دارد بخش نیرو و بخش توان، بخش نیرو برابر است با:

${\displaystyle \mathbf{f}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(m\gamma \mathbf{u}\mathbf{)}}$

و بخش توان برابر است با:

${\displaystyle P=\mathbf{f}\cdot \mathbf{u}=\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}(m\gamma c^2)}$

در اینجا ${\displaystyle \mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{p}\mathbf{,}\mathbf{f}}$

در نظریه نسبیت عام چهار نیرو مشابه چهار نیرو در نظریه نسبیت خاص است، با این تفاوت که در نسبیت عام چهار نیرو به چهار تکانه هم مرتبط است به دلیل استفاده کردن از مشتق هموردا نسبت به زمان ذره:

• ${\displaystyle F^{\mu }=\frac{D{P}^{\mu }}{d\tau }=\frac{d{P}^{\mu }}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{P}^{\alpha }{U}^{\beta }}$
• ${\displaystyle F^{\mu }=m{A}^{\mu }}$
• ${\displaystyle A^{\mu }=\frac{D{U}^{\mu }}{d\tau }=\frac{d{U}^{\mu }}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{U}^{\alpha }{U}^{\beta }}$

در نظریه نسبیت عام از مشتق هموردا ${\displaystyle \frac{D}{d\tau }}$

(نکته: در نظریه نسبیت عام گرانش نیرو نیست، بلکه خمیدگی فضا-زمان ناشی از حضور ماده است، پس نیروی گرانش در فیزیک کلاسیک یک نیروی مجازی ناشی از خمیدگی فضا زمان است و نه یک نیروی واقعی.)

معادله چهار نیرو در مکانیک سیالات نسبیتی (که مربوط به شبه-سیالات در رشته نجوم و سیال‌های نسبیتی است.) مشابه معادله چهار نیرو در نسبیت عام است با این تفاوت که مشتق نه تنها هموردا است بلکه مشتق کل هم هست (که مشتق گیری مخصوص مکانیک سیالات است.)

• نظریه نسبیت خاص
• نظریه نسبیت عام
• نظریه نسبیت
• تبدیلات لورنتس
• چهار سرعت
• چهار تکانه
• چهار شتاب
• چهار بردار

• Principles and application of General theory of relativity, Steven, Weinberg (1972), John Wiley & Sons, Inc.

ISBN 0-471-92567-5

• Introduction to special relativity (2nd ed) Oxford: Oxford university press, Rindler, Wolfgang (1994)

ISBN 0-19-853953-3