چهار شتاب

شتاب در فیزیک کلاسیک سه بعدی است ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{u}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{x}}{d{t}^2}}$

شتاب در نظریه نسبیت خاص چهار بعدی است، (سه بعد مکانی ${\displaystyle x,y,z}$

(نکته: در نظریه نسبیت برای مشتق گیری از زمان ذره یا زمان مناسب ${\displaystyle \tau }$

جزئیات معادله چهار شتاب

جزئیات معادله چهار شتاب به شرح زیر است:

• ${\displaystyle \mathbf{U}=\gamma (c,\mathbf{u}\mathbf{)}}$
  چهار سرعت
• ${\displaystyle \mathbf{A}=\frac{d\mathbf{U}}{d\tau }=\gamma (c\dot{\gamma },\mathbf{u}\dot{\gamma }+\gamma \mathbf{a})}$
  چهار شتاب
• ${\displaystyle \dot{\gamma }={\gamma }^3\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}}{c^2}}$
• ${\displaystyle \mathbf{A}=\gamma ({\gamma }^3\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}}{c},\gamma \mathbf{a}+{\gamma }^3\mathbf{u}\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}}{c^2})={\gamma }^4(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}}{c},\mathbf{a}+\frac{\mathbf{u}\times \mathbf{(}\mathbf{u}\times \mathbf{a}\mathbf{)}}{c^2})}$

نکته ریاضی

در قسمت آخر معادله چهار شتاب از رابطه ریاضی زیر استفاده شده است:

${\displaystyle \mathbf{a}\times \mathbf{(}\mathbf{b}\times \mathbf{c}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{b}\mathbf{(}\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{c}\mathbf{(}\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\mathbf{)}}$

بدین صورت که:

• ${\displaystyle \mathbf{a}{\gamma }^{-2}+\frac{\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}\mathbf{)}}{c^2}=\mathbf{a}-\frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\mathbf{)}}{c^2}+\frac{\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}\mathbf{)}}{c^2}}$
• ${\displaystyle \frac{\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\mathbf{)}}{c^2}=\frac{\mathbf{u}\times \mathbf{(}\mathbf{u}\times \mathbf{a}\mathbf{)}}{c^2}}$

چهار شتاب در سرعت‌های کم

در سرعت‌های کم که عامل لورنتس تقریباً برابر یک است ${\displaystyle \underset{\beta \ll 1}{lim}(\gamma \simeq 1)}$

${\displaystyle \mathbf{A}=(0,\mathbf{a}\mathbf{)}}$

ضرب داخلی چهار شتاب و چهار سرعت

حاصلضرب داخلی چهار سرعت و چهار شتاب متناظر آن همواره برابر با صفر است:

چهار شتاب در نسبیت عام مشابه چهار شتاب در نسبیت خاص است با این تفاوت که در نسبیت عام چهار شتاب به چهار سرعت هم مرتبط است به علت استفاده از مشتق هموردا در نسبیت عام:

گرانش نیرو نیست

وقتی چهار نیرو برابر با صفر است یعنی معادله چهار شتاب فقط تحت تاثیر گرانش قرار دارد، ورژن چهار برداری قانون دوم نیوتن عملاً به معادله ژئودزیک کاهش پیدا می کند، ذره‌ای که تحت تاثیر حرکت ژئودزیک است برای هر جزء از چهار بردار شتاب مقداری برابر با صفر دارد، این نتیجه گیری به معنای این واقعیت است که گرانش یک نیرو نیست.

چهار شتاب در سیالات نسبیتی و شبه سیالات نجومی مشابه چهار شتاب در نسبیت عام است با این تفاوت که در فیزیک سیالات نسبیتی از مشتق کل هم استفاده می‌شود و مشتق گیری به صورت مشترک کل-هموردا است

چهار شتاب در معادله متریال-ژئودزیک

در معادله متریال-ژئودزیک نحوه مشتق گیری به صورت مشتق گیری کل-همورا است (هم مشتق کل و هم مشتق هموردا) و چهار شتاب سیال نسبیتی (ببینید چهار نیرو) به شکل زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle A^{\mu }=\frac{D{U}^{\mu }}{D\tau }=\frac{d{U}^{\mu }}{D\tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{U}^{\alpha }{U}^{\beta }=U_{\nu }{\mathrm{\Omega }}^{\mu \nu }+\frac{1}{\rho }{\mathrm{\partial }}_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{U}^{\alpha }{U}^{\beta }}$

• چهار بردار
• چهار سرعت
• چهار تکانه
• چهار نیرو
• نسبیت خاص
• نسبیت عام
• هموردایی لورنتز
• نظریه نسبیت

• Tsamparlis M. (2010). Special Relativity (online ed.) Springer Berlin Heidelberg. P.185

ISBN 978-3-642-03837-2

• Synge J.L. ;Schild A. (1949) Tensor Calculus (1978 Dover ed.) University of Toronto Press PP.149, 153 and 170

ISBN 0-486-63612-7

• Pauli W. (1921) Theory of Relativity (1981 Dover ed.). B.G.Teubner, Leipzig.p.74.

ISBN 978-0-486-64152-2