مشتق کل

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

مشتق کل یک تابع $f$

با چندین متغیر، برای نمونه

t

،

x

،

y

و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند

t

با مشتق پاره‌ای آن (

\partial

) نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع

f

نسبت به

t

، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که

t

تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به

t

وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع

f

نسبت به

t

باشد. برای مثال، مشتق کل

f(t,x,y)

نسبت به

t

به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

{\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}.

که به‌صورت زیر ساده می‌شود:

{\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}.

با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل $\operatorname {d} t$

:

{\operatorname {d} f}={\frac {\partial f}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\operatorname {d} y.

نتیجه، تغییر جزئی $\operatorname {d} f$

در مقدار تابع

f

خواهد بود. با توجه به اینکه تابع

f

به متغیر

t

وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از مشتق پاره‌ای

f

نسبت به

t

خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع

f

نسبت به متغیرهای

x

و

y

خواهد بود.

مشتق کل می‌تواند به یک عملگر دیفرانسیلی مانند عملگر زیر اشاره کند:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\partial }{\partial x}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {\operatorname {d} y_{j}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}},

که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به $x$

) محاسبه می‌کند.

مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل $\operatorname {d} f$ یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن فرم‌های دیفرانسیلی اشاره کند.

یک دیفرانسیل به فرم

\sum _{j=1}^{k}f_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})\operatorname {d} {x_{j}}

مشتق کل یا مشتق دقیق نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و مشتق خارجی تعبیر شود.

مشتق کل به‌عنوان نام دیگر مشتق به عنوان یک نگاشت خطی به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر $f$

یک تابع مشتق‌پذیر از

\mathbb {R} ^{n}

به

\mathbb {R} ^{m}

باشد، سپس مشتق کل

f

در

x\in \mathbb {R} ^{n}

، یک نگاشت خطی از

\mathbb {R} ^{n}

به

\mathbb {R} ^{m}

خواهد بود که ماتریس آن، ماتریس ژاکوبی

f

در

x

است.

مشتق کل به‌عنوان مترادف گرادیان که مشتق یک تابع از $\mathbb {R} ^{n}$

به

\mathbb {R}

است، به‌کار می‌رود.

مشتق کل، گاهی اوقات به‌عنوان مترادف مشتق مادی ( ${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}$

) در مکانیک شاره‌ها به‌کار می‌رود.

پانویس

↑ "Total Derivative" (به انگلیسی). MathWorld. Retrieved 7 December 2012.

[1] "Total Derivative" (به انگلیسی). MathWorld. Retrieved 7 December 2012.