مشتق هموردا

مشتق هموردا (کواریانت) تعمیم مشتق خطی از یک چند بردار در محاسبات تانسوری است. برای آنکه بتوانیم از یک چند بردار که در یک جهان چند بعدی قرار گرفته و مؤلفه‌هایش تغییر می‌کند در جهت یکی از ابعاد مشتق بگیریم نمی‌توانیم از مشتق معمولی استفاده کنیم و بایستی از مشتق کواریانت استفاده کنیم. برای میدان اسکالر ${\displaystyle {\displaystyle \varphi }}$

${\displaystyle {\displaystyle {\varphi }_{;a}\equiv {\mathrm{\partial }}_a\varphi }}$

اما برای میدان برداری (چند بردار) با شاخص بالا ${\displaystyle {\lambda }^a}$

${\displaystyle {\lambda }^a{}_{;b}\equiv {\mathrm{\partial }}_b{\lambda }^a+{\mathrm{\Gamma }}^a{}_{cb}{\lambda }^c}$

${\displaystyle {\lambda }_{a;c}\equiv {\mathrm{\partial }}_c{\lambda }_a-{\mathrm{\Gamma }}^b{}_{ac}{\lambda }_b}$

همینطور برای تانسوری از مرتبه دو (ضرب دو عدد چند بردار) با شاخصهای بالا ${\displaystyle {\tau }^{ab}}$

${\displaystyle {\tau }^{ab}{}_{;c}\equiv {\mathrm{\partial }}_c{\tau }^{ab}+{\mathrm{\Gamma }}^a{}_{dc}{\tau }^{db}+{\mathrm{\Gamma }}^b{}_{dc}{\tau }^{ad}}$

${\displaystyle {\tau }_{ab;c}\equiv {\mathrm{\partial }}_c{\tau }_{ab}-{\mathrm{\Gamma }}^d{}_{ac}{\tau }_{db}-{\mathrm{\Gamma }}^d{}_{bc}{\tau }_{ad}}$

و برای تانسور مرتبه دوم با شاخصهای بالا و پایین ${\displaystyle {\tau }^a{}_b}$

${\displaystyle {\tau }^a{}_{b;c}\equiv {\mathrm{\partial }}_c{\tau }^a{}_b+{\mathrm{\Gamma }}^a{}_{dc}{\tau }^d{}_b-{\mathrm{\Gamma }}^d{}_{bc}{\tau }^a{}_d}$