نظریه میدان نرده‌ای

در علم فیزیک فیزیک نظری مدل‌های مختلفی برای توضیح جهان شتاب‌دار تا کنون مطرح شده‌اند که همگی به مقوله انرژی تاریک مربوط می‌شوند. توضیح ریاضیاتی این پدیده نظریهٔ میدان نرده‌ای ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \mathcal{S}=\int {\mathrm{d}}^{D-1}x\mathrm{d}t\mathcal{L}=\int {\mathrm{d}}^{D-1}x\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \nu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi {\mathrm{\partial }}_{\nu }\varphi -V(\varphi )\right]}$

که ${\displaystyle \mathcal{L}}$

${\displaystyle {\eta }^{\mu \nu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\nu }\varphi +V^{\prime }(\varphi )={\mathrm{\partial }}_t^2\varphi -{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +V^{\prime }(\varphi )=0}$

بنابراین در حالتی که جرم ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathcal{S}=\int {\mathrm{d}}^{D-1}x\mathrm{d}t\mathcal{L}=\int {\mathrm{d}}^{D-1}x\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \nu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi {\mathrm{\partial }}_{\nu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2\right]}$

${\displaystyle =\int {\mathrm{d}}^{D-1}x\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}({\mathrm{\partial }}_t\varphi {)}^2-\frac{1}{2}{\delta }^{ij}{\mathrm{\partial }}_i\varphi {\mathrm{\partial }}_j\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2\right],}$

در این حالت مسلماً معادله حرکت اویلر لاگرانژ مربوط به آن نیز چنین مد نظر گرفته می‌شود

${\displaystyle {\eta }^{\mu \nu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\nu }\varphi +m^2\varphi ={\mathrm{\partial }}_t^2\varphi -{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +m^2\varphi =0}$

و اما اگر میدان کوانتومی را اساس میدان نرده‌ای در نظر بگیریم کنش مربوطه می‌شود

${\displaystyle S=\int {\mathrm{d}}^{D-1}x\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}({\mathrm{\partial }}_t\varphi {)}^2-\frac{1}{2}{\delta }^{ij}{\mathrm{\partial }}_i\varphi {\mathrm{\partial }}_j\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{g}_n{\varphi }^n\right]}$

که طبیعتاً در نظریه برهمکنش چهار بعدی ${\displaystyle {\varphi }^4}$

${\displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}({\mathrm{\partial }}_t\varphi {)}^2-\frac{1}{2}{\delta }^{ij}{\mathrm{\partial }}_i\varphi {\mathrm{\partial }}_j\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{g}{4!}{\varphi }^4.}$