چهاربردار

در فیزیک کلاسیک بردارها ${\displaystyle \mathbf{x}}$

در نظریه نسبیت بردارها ${\displaystyle \mathbf{X}}$

${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf{x})}$

• ${\displaystyle x^0=ct}$
• ${\displaystyle x^1=x}$
• ${\displaystyle x^2=y}$
• ${\displaystyle x^3=z}$

بر حسب ${\displaystyle x^{\mu }}$

• ${\displaystyle x^{\prime 0}=\gamma (x^0-\beta x^1)}$
• ${\displaystyle x^{\prime 1}=\gamma (x^1-\beta x^0)}$
• ${\displaystyle x^{\prime 2}=x^2}$
• ${\displaystyle x^{\prime 3}=x^3}$

که در آن‌ها ${\displaystyle \beta =\frac{u}{c}}$

تبدیلات لورنتس به صورت فشرده

با استفاده از چهار بردار می‌توان تبدیلات لورنتس را به صورت فشرده تری بازنویسی کرد:

${\displaystyle x^{\prime \mu }=\sum _{\nu =0}^3{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }}$

ضریب‌های ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }}$

برای اینکه نخواهیم از علامت جمع بندی Σ استفاده کنیم میتوانیم از قرارداد جمع انیشتین استفاده کنیم که می گوید نمادهای یونانی تکراری را می‌توان از ۰ تا ۳ جمع کرد, در نهایت معادله فشرده تبدیلات لورنتس می‌شود:

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }}$

بعنوان مثال:

• ${\displaystyle x^{\prime 0}={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^0{x}^{\nu }}$
• ${\displaystyle x^{\prime 0}={\mathrm{\Lambda }}_0^0{x}^0+{\mathrm{\Lambda }}_1^0{x}^1+{\mathrm{\Lambda }}_2^0{x}^2+{\mathrm{\Lambda }}_3^0{x}^3}$

در فیزیک کمیتی که در هر سیستم اینرسی دارای همان مقدار می‌باشد را به نام ناوردا می نامند، (به عنوان مثال کمیت ${\displaystyle \mathbf{x}\cdot \mathbf{x}=x^2+y^2+z^2}$

معادله فشرده ناوردای لورنتس با قرارداد جمع انیشتین می‌شود:

(نکته: چهار بردار اصلی را با اندیس بالا نمایش می دهند و آن را را چهار بردار پادوردا می نامند، تمام این عملیات بی‌گمان با مهارت خیلی زیاد در فرمول‌نویسی ظاهر می‌شوند فقط به خاطر اینکه سه علامت منفی در ناوردای لورنتس را از بین ببریم.)

اجزاء تانسور متریک ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

چهار بردار هموردا را به شکل زیر و با اندیس پایین تعریف می کنیم: ${\displaystyle x_{\mu }=g_{\mu \nu }{x}^{\nu }=(ct,-\mathbf{x})}$

(نکته: در سیستم‌های مختصات غیر دکارتی و در فضاهای خمیده نسبیت عام اجزاء تانسور متریک تغییر می‌کنند.)

چهار بردار مکان-زمان ${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle a^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{a}^{\nu }}$

برای هر کدام از چنین چهار بردارهای پادوردایی ${\displaystyle a^{\mu }}$

${\displaystyle a_{\mu }=g_{\mu \nu }{a}^{\nu }}$

همچنین می‌توان از چهار برداری هموردا بوسیله معکوس کردن دوباره علائم به چهار بردار پادوردا برگردیم:

${\displaystyle a^{\mu }=g^{\mu \nu }{a}_{\mu }}$

(نکته: چونکه ماتریس g عکس خودش می‌باشد.)

اگر شما از نوشتن نمادها خسته می شوید می‌توانید از علامت نقطه استفاده کنید:

توجه کنید که ناوردای لورنتسی ${\displaystyle I=\mathbf{X}\cdot \mathbf{X}}$

• ${\displaystyle x^{\mu }}$
  را زمان-گونه (شبه زمان) می نامیم اگر: ${\displaystyle I>0}$
• ${\displaystyle x^{\mu }}$
  را فضا-گونه (شبه فضا) می نامیم اگر :
• ${\displaystyle x^{\mu }}$
  را نور-گونه (شبه نور) می نامیم اگر: ${\displaystyle I=0}$

مرحله انتقال از بردارها تا تانسورها مرحله کوتاهی است، یک تانسور مرتبه دوم ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

${\displaystyle S^{\prime \mu \nu }={\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\nu }{S}^{\alpha \beta }}$

(نکته: در حقیقت یک بردار ${\displaystyle x^{\mu }}$

• تانسور مرتبه صفر، نمایش اسکالری دارد: ${\displaystyle I}$
• تانسور مرتبه یک، نمایش برداری دارد: ${\displaystyle x^{\mu }}$
• تانسور مرتبه دو (مولفه‌های تانسور را در یک ماتریس می‌ریزند، یعنی با ماتریس نمایش می‌دهند): ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$
• تانسور هموردا: ${\displaystyle S_{\mu \nu }=g_{\mu \alpha }{g}_{\nu \beta }{S}^{\alpha \beta }}$
• تانسور مخلوط: ${\displaystyle S_{\alpha }^{\mu }=g_{\alpha \nu }{S}^{\mu \nu }}$

توجه کنید که تانسور یک موجود ریاضیاتی است و اسکالر، بردار، ماتریس و... نیست؛ و تنها با بردار، ماتریس و... نمایش داده می‌شود.

توجه کنید که حاصل‌ضرب دو تانسور، خودش یک تانسور می‌شود.

• نظریه نسبیت
• نسبیت خاص
• فیزیک ذرات بنیادی
• چهار سرعت
• چهار تکانه
• چهار شتاب
• چهار نیرو
• هموردایی لورنتز
• نظریه نسبیت عام

• مقدمه‌ای بر ذرات بنیادی/نویسنده دیوید گریفیت؛ برگرداننده نادر قهرمانی.
• شابک:8 شابک ‎۹۶۴−۸۱۴۲−۷۱−۸