حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

معادله پائولی

معادله پائولی، که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده‌است، فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد. این معادله در حقیقت حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند، کاربرد دارد. این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.

فهرست

  • ۱ جزئیات
  • ۲ رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک
  • ۳ حالات خاص
  • ۴ جستارهای وابسته
  • ۵ منابع

جزئیات

برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری

A = ( A x , A y , A z )     {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})\ \ }

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ، این معادله می‌شود:

معادله پائولی (حالت کلی)

[ 1 2 m ( σ ⋅ ( p − q A ) ) 2 + q ϕ ] | ψ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ {\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }

که در آن

σ = ( σ x , σ y , σ z )     {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})\ \ }

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است، یعنی هر مؤلفه آن یک ماتریس پاولی است؛

p = − i ℏ ∇ = − i ℏ ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z )     {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla =-i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\ \ }

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان است و

| ψ ⟩ = ( ψ 0 ψ 1 ) {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}}

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است، یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده‌است. به‌طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

[ 1 2 m ( ∑ n = 1 3 ( σ n ( − i ℏ ∂ ∂ x n − q A n ) ) ) 2 + q ϕ ] ( ψ 0 ψ 1 ) = i ℏ ( ∂ ψ 0 ∂ t ∂ ψ 1 ∂ t ) . {\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left(\sum _{n=1}^{3}\left(\sigma _{n}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-qA_{n}\right)\right)\right)^{2}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}=i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\displaystyle \partial \psi _{0}}{\displaystyle \partial t}}\\[6pt]{\frac {\displaystyle \partial \psi _{1}}{\displaystyle \partial t}}\end{pmatrix}}.}

که هامیلتونی در آن، به خاطر وجود ماتریس‌های σ {\displaystyle \sigma }

پاولی، یک عملگر ماتریسی ۲ × ۲ است .

رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک

معادله پائولی غیرنسبیتی است، اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند. بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:

  • معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
  • معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.

توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی، اگر بردار A {\displaystyle \mathbf {A} }

صفر گردد، معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.

حالات خاص

در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

معادله پاولی (میدان مغناطیسی)

i ℏ ∂ ∂ t | φ ± ⟩ = ( ( p − q A ) 2 2 m + q ϕ ) 1 ^ | φ ± ⟩ ⏟ S c h r o ¨ d i n g e r   e q u a t i o n − q ℏ 2 m σ ⋅ B | φ ± ⟩ ⏟ Stern Gerlach term {\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\varphi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}\mathbf {|} \varphi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \mathbf {|} \varphi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern Gerlach term}}}

که در آن

| φ ± ⟩ = ( | φ + ⟩ | φ − ⟩ ) {\displaystyle |\varphi _{\pm }\rangle ={\begin{pmatrix}|\varphi _{+}\rangle \\|\varphi _{-}\rangle \end{pmatrix}}}
,

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند. B میدان مغناطیسی خارجی است و

1 ^ = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle {\hat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}

ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

جستارهای وابسته

  • کره بلوخ
  • ماتریس‌های پائولی

منابع

  • Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060.
  • Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.{{}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.