پتانسیل برداری

اگر یک میدان برداری v اذعان بردار پتانسیل A سپس از برابری

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

(دیورژانس از کرل صفر است.) می‌توان دریافت که

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$

که نشان می دهد که v باید یک میدان برداری سلونویدی باشد.

در نظر بگیرید؛

${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

یک میدان برداری سلونویدی باشد که دو بار به طور مداوم مشتق‌پذیر است. فرض کنید که  v(x) با سرعت کافی کاهشی است  به اندازه ||x||→∞.  حال تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$

سپس A یک بردار پتانسیل برای  v است:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

تعمیم این قضیه است تجزیه هلمهولتز را بدست می‌دهد که بیان می‌کند هر میدان برداری را می توان تجزیه می‌توان به مجموع میدان سلونویدی و میدان برداری غیر چرخشی تقسیم کرد.

بردار پتانسیل یک میدان سلونویدی منحصر به فرد نیست. اگر A بردار پتانسیل برای  v باشد در آنصورت

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m}$

که در آن m می‌تواند هر تابع مشتق‌پذیر پیوسته‌ای باشد.  این واقعیت از آنجا ناشی می‌شود که کرل گرادیان صفر است.

این نامنحصربفردی منجر به یک درجه آزادی در فرمولبندی الکترودینامیک یا سنج و آزادی و نیاز به انتخاب یک سنج را فراهم می‌نماید.

• قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال برداری
• پتانسیل مغناطیسی
• سلونویدی
• بسته و دقیق اشکال دیفرانسیل