نشان‌گذاری برا-کت

فضای کت فضای برداری مختلطی است که بعد آن بر طبق طبیعت سیستم فیزیکی مورد نظر معین می‌شود.

در مکانیک کوانتم، وضعیت یک سیستم فیزیکی مانند پرتو با یک عدد مختلط در فضای هیلبرت، ${\displaystyle \mathcal{H}}$

${\displaystyle |\psi ⟩=(c_0,c_1,c_2,...{)}^T,}$

به علت اینکه فضای هیلبرت دارای بی‌نهایت بعد است؛ و به همین دلیل می‌توان یک متغیر کت را با بی‌نهایت بردار نشان داد. برا نمایشگر هر بردار خاص از این بی‌نهایت بردار است،

${\displaystyle ⟨x|\psi ⟩=\psi (x)=c{e}^{-ikx}.}$

هر ket ${\displaystyle |\psi ⟩}$

${\displaystyle ⟨\psi |=(c_0^{\ast },c_1^{\ast },c_2^{\ast },\dots )}$

این یک تابع خطی پیوسته از ${\displaystyle \mathcal{H}}$

${\displaystyle ⟨\psi |:\mathcal{H}\to \mathbb{C}:⟨\psi |\left(|\rho ⟩\right)=\mathrm{IP}\left(|\psi ⟩,|\rho ⟩\right)}$

خطی بودن

• هنگامی که براها توابعی خطی‌اند:

${\displaystyle ⟨\varphi |(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)=c_1⟨\varphi |{\psi }_1⟩+c_2⟨\varphi |{\psi }_2⟩.}$

شرکت‌پذیری

• براها و کت‌ها شرکت‌پذیرند، نظیر:

${\displaystyle ⟨\psi |(A|\varphi ⟩)=(⟨\psi |A)|\varphi ⟩}$

${\displaystyle (A|\psi ⟩)⟨\varphi |=A(|\psi ⟩⟨\varphi |)}$

همیوغ هرمیتی

${\displaystyle ⟨\varphi |A|\psi {⟩}^{\ast }=⟨\psi |A^{†}|\varphi ⟩}$

${\displaystyle ⟨\varphi |A^{†}{B}^{†}|\psi {⟩}^{\ast }=⟨\psi |BA|\varphi ⟩}$

داریم:

${\displaystyle |\psi ⟩=\sum _{i\in \mathbb{N}}⟨e_i|\psi ⟩|e_i⟩,}$

بنابر این به سادگی می‌توان نتیجه گرفت:

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{N}}|e_i⟩⟨e_i|=\hat{1}}$

ویکی انگلیسی

• Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin.
  • 1. Ket space
  • 2. Bra space
  • 3. Operators
  • 4. The outer product
  • 5. Eigenvalues and eigenvectors
• Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation.
• Feynman, Leighton and Sands (1965), The Feynman Lectures on Physics Vol. III (به انگلیسی), Addison-Wesley