معادله سیاله
در ریاضیات، معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتین معادلهای چندجملهای با متغیرهای صحیح است که در آن معمولاً بیش از یک متغیر (مجهول) داشته باشیم. به یک معادله سیاله خطی میگوییم اگر برابر با جمع دو یا چند تکجملهای درجه یک باشد، بهطور مشابه به یک معادله سیاله، نمایی میگوییم اگر متغیرها در توانها ظاهر شوند.
معمولاً دستگاه معادلات سیاله دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهولها از تعداد معادلهها بیشتر باشد و هدف یافتن اعداد صحیحی است که بهطور همزمان همه معادلات را حل کنند. از آنجایی که چنین دستگاه معادلاتی را توسط منحنیهای جبری، رویهها جبری یا بهطور کلی مجموعههای جبری را تعریف میکنند، مطالعه آنها بخشی از هندسه جبری است که هندسه دیوفانتینی نامیده میشود.
کلمه دیوفانتین به ریاضیدان قرن سوم، دیوفانت، اشاره دارد که چنین معادلاتی را مطالعه کرد و یکی از اولین ریاضیدانانی بود که نمادگرایی را وارد جبر کرد. مطالعه ریاضی مسائل دیوفانتین که دیوفانتوس آغاز کرد، اکنون آنالیز دیوفانتین نامیده میشود.
در حالی که معادلات خاص نوعی معما بودهاند و در طول تاریخ مورد توجه قرار گرفتهاند، تدوین نظریههای کلی معادلات دیوفانتین (فراتر از معادلات خطی و درجه دوم) دستاورد قرن بیستم بود.
چند مثال
بهطور مثال معادلهٔ
در معادلات سیاله زیر، w, x، y و z مجهول هستند و حروف دیگر ثابتها را نشان میدهند:
این یک معادله سیاله خطی است. | |
کوچکترین راهحل غیربدیهی در مجموعه اعداد صحیح مثبت 12 + 1 = 9 + 10 = ۱۷۲۹ است. معروف است که به این معادله بهطور خاص برای ۱۷۲۹ ساخته شدهاست. این عدد شماره یک تاکسی بود که توسط هاردی در یک ملاقات در ۱۹۱۷ به رامانوجان دادهشد. برای همین به عدد شماره تاکسی (همچنین به نام شماره هاردی–رامانوجان) مشهور است. البته این معادله بینهایت راه حل غیر بدیهی دارد. | |
برای n=۲ بینهایت راهحل (x, y, z) وجود دارد که به سهگانههای فیثاغورثی معروفاند. برای مقادیر صحیح بزرگتر n، قضیه آخر فرما (که در سال ۱۶۳۷ توسط فرما بیان شد و توسط اندرو وایلز در ۱۹۹۵ اثبات شد) بیان میکند که هیچ راه حل صحیح مثبتی وجود ندارد. | |
این معادله پِل است که به نام ریاضیدان انگلیسی جان پل نامگذاری شدهاست. در قرن هفتم توسط براهماگوپتا و همچنین توسط فرما در قرن هفدهم مورد مطالعه قرار گرفت. | |
حدس اردوش-استراوس بیان میکند که برای هر عدد صحیح مثبت n ≥ ۲، یک راه حل (x, y, z) در مجموعه اعداد صحیح مثبت وجود دارد. اگر چه این حدس معمولاً به صورت چند جمله ای بیان نمیشود، اما این مثال معادل معادله چند جملهای | |
ابتداً اویلر به اشتباه حدس زد که هیچ راهحل غیر بدیهی ندارد. بعداً توسط Elkies ثابت شد که بینهایت راهحل دارد، سپس با یک جستجوی کامپیوتری توسط Frye که کوچکترین راهحل غیر بدیهی را تعیین میکند مشخص شد 95800 + 217519 + 414560 = 422481. |
معادلههای سیاله خطی
یک معادله
سادهترین معادله سیاله خطی به شکل
فرض کنیم a, b و c اعداد صحیح مثبت باشند و بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b برابر با d باشد. معادله
در مجموعه اعداد صحیح راهحل دارد اگر و فقط اگر. به علاوه اگرویک جواب برای معادله باشد، آنگاه کلیه جوابهای معادله عبارتند از:که در آن k عددی صحیح است.
اثبات: فرض کنید
برای اثبات قسمت دوم قضیه، فرض کنید که
برای مثال کلیه جوابهای معادله
قضیه باقیمانده چینی
قضیه باقیمانده چینی کلاس مهمی از دستگاه معادلات دیوفانتین خطی را توصیف میکند.
فرض کنید
منابع
- ↑ T.A.A.B (1955-05). "An Introduction to the Theory of Numbers. By G.H. Hardy. and E.M. Wright. 3rd edition. Pp. xvi, 419. 42s. 1955. (Geoffrey Cumberlege, Columbia University Press)". The Mathematical Gazette. 39 (328): 174–174. doi:10.2307/3610026. ISSN 0025-5572.
- ↑ Elkies, Noam D. (1988). "On $A^4 + B^4 + C^4 = D^4$". Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. ISSN 0025-5718.