لم اقلیدس
لم اقلیدس بیان میکند که اگر p|ab، آنگاه یا p|a یا p|b که در آن p عددی اول و a,b اعدادی صحیح هستند؛ به عبارتی دیگر اگر عدد اولی مانند p، عدد a.b (حاصل ضرب a و b) را عاد کند (a.b بر p بخشپذیر باشد) در این صورت p حداقل یکی از اعداد a یا b را عاد خواهد کرد، به عبارت دیگر a یا b بر p بخش پذیر هستند.
لم اقلیدس کاربردهای زیادی در نظریه اعداد دارد. یکی از این کاربردها را در قضیه اساسی حساب میبینیم.
اثبات
اثبات با استفاده از قضیه ی بزو:
طبق قضیه بزو اگر x و y اعداد صحیح و نسبت به هم اول باشند آنگاه اعداد صحیح r و s موجودند که:
rx + sy = 1
حال در لم اقلیدس داریم n|ab و 1 = (n,a) لذا طبق قضیه ی بزو r و s صحیحی موجودند که:
rn + sa = 1
در نتیجه:
rnb + sab = b
و از طرفی:
n|rnb و n|sab
و لذا:
n|rnb+sab
بنابراین:
n|b
جستارهای وابسته
منابع
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Euclid's lemma». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۱۵ سپتامبر ۲۰۲۲.