حدس اردوش-استراوس

مسئله حل نشده در ریاضیات:

آیا به ازای هر عدد صحیح $n\geq 2$

معادلهٔ

{\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}

پاسخ صحیح مثبتی دارد؟

در نظریه اعداد، حدس اردوش-استراوس بیان می‌کند که به ازای هر عدد صحیح $n\geq 2$

4/n

را می‌توان به صورت مجموع سه کسر واحد مثبت

1/x+1/y+1/z

بیان کرد . پاول اردوش و ارنست جی استراوس این حدس را در سال 1948 تنظیم کردند. این یکی از حدس‌های پال اردوش است.

اگر $n$

عددی مرکب باشد،

n=pq

، آنگاه می‌توان پاسخ معادله برای

4/n

را از روی پاسخ

4/p

یا

4/q

پیدا کرد؛ بنابراین، اگر مثال نقضی برای حدس اردوش-استراوس وجود داشته باشد، کوچکترین

n

مثال نقض باید عددی اول باشد، و با نتیجه‌گیری بیشتر می‌توان آن را به یکی از شش مدول تصاعد حسابی نامتناهی عدد

840

محدود کرد. تحقیق‌های رایانه ای نشان می‌دهد حدس بر روی اعداد تا

n\leq 10^{17}

صادق است ، اما اثبات آن برای همهٔ

n

ها همچنان یک مسئلهٔ حل نشده‌است.

مثبت بودن سه کسر واحد برای دشواری مسئله ضروری است، زیرا اگر مقادیر منفی مجاز بودند، مسئله برای همه حالت‌ها حل می‌شد.

حدس

به‌طور صوری تر، حدس بیان می‌کند که به ازای هر عدد صحیح $n\geq 2$

، اعداد صحیح مثبت

x

،

y

و

z

وجود دارد به طوری که:

{\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.

به عنوان مثال، به ازای $n=5$

، دو پاسخ وجود دارد:

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}.

بعضی از محققان شرط متمایز بودن این اعداد صحیح را نیز لازم می‌دانند، در حالی که برخی دیگر اجازه می‌دهند برابر باشند. برای $n\geq 3$

، مهم نیست اعداد با هم متفاوت باشند: اگر یک راه حل برای هر سه عدد صحیح

x

,

y

و

z

وجود داشته باشد، یک راه حل برای اعداد صحیح مجزا نیز وجود دارد. برای

n=2

، تنها راه حل

{\tfrac {4}{2}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}}

، است با در نظر گرفتن جایگشت جمع‌شونده‌ها. وقتی

x

,

y

و

z

سه عدد متفاوت باشند، این کسرهای واحد کسر مصری عدد

4/n

را نمایش می‌دهند.

↑ See, e.g. , (Elsholtz 2001). Note however that the earliest published reference to it appears to be (Erdős 1950).
↑ (Mordell 1967).
↑ Salez (2014).
↑ (Eppstein 1995), conflict resolution section.

Salez, Serge E. (2014), The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to $N=10^{17}$ , arXiv:1406.6307, Bibcode:2014arXiv1406.6307S
Rosati, Luigi Antonio (1954), "Sull'equazione diofantea $4/n=1/x_{1}+1/x_{2}+1/x_{3}$ ", Boll. Un. Mat. Ital. (3) (به ایتالیایی), 9: 59–63, MR 0060526.
Arab, Mohammad (2021), WELL-DEFINED ERDOS-STRAUS EQUATIONS AND L.C.M </math>, arXiv:2108.02024, Bibcode:2021arXiv210802024A