معادله مربعی

معادلات درجه دو با روش‌های آزمون و خطا، فاکتورگیری و تجزیه، روش مربع کامل، روش هندسی، روش خوارزمی، نمودار تابع (رسم نمودار)، روش دلتا، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.

روش آزمون و خطا

در این روش با استفاده از حدس مقادیر مختلفی را برای متغیر در [معادله] قرار می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا این مقدار در معادله صدق می‌کند یا خیر.

روش آزمون و خطا در واقع دادن عدد به معادله برای پیدا کردن جواب می‌باشد. در این روش باید سعی کنیم مقادیر را چنان انتخاب کنیم که ما را به سمت صفر راهنمایی کند. برای این کار بهترین راه پیدا کردن یک جواب مثبت و یک جواب منفی برای حاصل معادله می‌باشد. با محدود کردن این بازه خود را به جواب نزدیکتر می‌کنیم. در نهایت باید به جوابی که در معادله صدق می‌کند برسیم. این روش حل معمولاً به ما جواب تقریبی می‌دهد.

روش تجزیه

این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله ${\displaystyle x^2}$

مثال: می‌خواهیم معادله ${\displaystyle 2x^2-8x+6=0}$

روش مربع کامل کردن

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی، معروف به اتحاد مربع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: ${\displaystyle (A+B{)}^2=(A{)}^2+2(A)(B)+(B{)}^2}$

حال ما باید ${\displaystyle a{x}^2}$

${\displaystyle ((\sqrt{a})x+L{)}^2+c-(L^2)=0}$

مثال: می‌خواهیم ${\displaystyle 4x^2+12x+5=0}$

روش کلی حل معادله درجه ۲

اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$

راه حل عمومی آن به این شکل است:

${\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

که نماد "±" به معنی هر دو است.

${\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

و

${\displaystyle x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$

و b زوج باشد می‌توانیم بنویسیم :

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{b}{2}}$

${\displaystyle x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{(b^{\prime }{)}^2-ac}}{a}}$

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که ${\displaystyle b^2-4ac}$

اعداد ثابت ${\displaystyle p=\frac{-b}{a}}$

تعداد جواب‌های معادله درجه دو

تعداد جواب‌های معادله درجه دو

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=b^2-4ac}$
دو ریشه	${\displaystyle \mathrm{\Delta }>0}$
یک ریشه	${\displaystyle \mathrm{\Delta }=0}$
جواب نداریم

روش ریشه‌گیری

در این روش دو نکته حائز اهمیت است:

1. ${\displaystyle b=0}$
2. یک طرف اتحاد مربع دوجمله‌ای و طرف دیگر عدد مثبت باشد.

مثال:

1. اگر در یک معادله ضریب عدد ثابت صفر باشد، بهترین روش برای حل معادله، روش تجزیه به روش فاکتورگیری است. در این حالت به‌طور حتم یکی از ریشه‌ها صفر و دیگری ${\displaystyle \frac{-b}{a}}$
   خواهد بود.
2. اگر در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$
   داشته باشیم: ${\displaystyle a+b+c=0}$
   (یعنی مجموع ضرایب برابر صفر باشد)، همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد ۱ و دیگری برابر ${\displaystyle \frac{c}{a}}$
   است.
3. اگر در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$
   داشته باشیم: ${\displaystyle a-b+c=0}$
   آنگاه همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد ۱- و دیگری برابر ${\displaystyle \frac{-c}{a}}$
   است.
4. در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$
   و ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=b^2-4ac}$
   داریم:

مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادلهٔ درجه دو

مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار است. معمولاً در ریاضیات مجموع ریشه‌ها را با s و ضرب ریشه‌ها را با p نمایش می‌دهند. مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دو به صورت زیر به دست می‌آیند:

${\displaystyle s=x_1+x_2=-b/a}$

${\displaystyle p=x_1\times x_2=c/a}$

روابطی کاربردی که از طریق s و p (مجموع و ضرب دو ریشه) به دست می آیند

${\displaystyle x_1^2+x_2^2=s^2-2p}$

${\displaystyle x_1^2-x_2^2=s\times p}$

${\displaystyle x_1^3+x_2^3=s^3-(3\times p\times s)}$

${\displaystyle x_1^3=(s+p{)}^3}$

${\displaystyle x_2^3=(s-p{)}^3}$

${\displaystyle x_1^2=(s+p{)}^2}$

${\displaystyle x_2^2=(s-p{)}^2}$